Question

4．如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=90°，∠BAD=135°，AB=1，AC=$\sqrt{2}$，點(diǎn)E為CD中點(diǎn)．求證：CD=2AE．

Answer 1

分析 首先利用已知條件和勾股定理可證明BC=AB，進(jìn)而可得∠BCA=∠BAC=45°，再根據(jù)已知條件可得∠CAD=135-45°=90°，所以三角形CAD是直角三角形，利用在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半即可證明CD=2AE．

解答 證明：Rt△ABC中，∠ABC=90°，
AB=1，AC=$\sqrt{2}$
∴BC²=（$\sqrt{2}$）²-1²=1，
∴BC=AB，
∴∠BCA=∠BAC=45°，
又∵∠BAD=135°，
∴∠CAD=135-45°=90°，
又∵AE為CD上中點(diǎn)，
∴AE為Rt△CAD斜邊上中線，則CD=2AE．

點(diǎn)評 本題考查了勾股定理的運(yùn)用以及在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半．（即直角三角形的外心位于斜邊的中點(diǎn)）的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明△CAD是直角三角形．