Question

已知，如圖，函數(shù)y=

6

x

與y=-2x+8的圖象交于點(diǎn)A、B．
（1）直接寫出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)：A

 

，B

 

；
（2）觀察圖象，直接寫出不等式

6

x

＞-2x+8的解集：

 

；
（3）點(diǎn)P是坐標(biāo)軸上的動點(diǎn)，當(dāng)AP+BP取得最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題,軸對稱-最短路線問題

專題：

分析：（1）一次函數(shù)與反比例函數(shù)組成方程組即可求得交點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）根據(jù)反比例函數(shù)圖象在一次函數(shù)圖象上方的部分，是反比例函數(shù)值大于一次函數(shù)值，可得答案；
（3）分兩種情況：①點(diǎn)P在x軸上，作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′（3，-2），連結(jié)A′B交x軸于點(diǎn)P，利用軸對稱得出AP+BP的最小值為線段A′B，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求出解析式，即可得出P點(diǎn)坐標(biāo)；②點(diǎn)P在y軸上，作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)B′（-1，6），連結(jié)AB′交y軸于點(diǎn)P，利用軸對稱得出AP+BP的最小值為線段AB′，進(jìn)而利用待定系數(shù)法求出解析式，即可得出P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）由題意得：

y= 6 x y=-2x+8

，
解之得：

x1=1 y1=6

，

x2=3 y2=2

，
∴A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（3，2）、B（1，6）；

（2）由圖象得：不等式

6

x

＞-2x+8的解集為0＜x＜1或x＞3；

（3）分兩種情況：
①如果點(diǎn)P在x軸上，
作點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)A′（3，-2），連結(jié)A′B交x軸于點(diǎn)P，則PA′=PA，
所以AP+BP=A′P+BP=A′B，即AP+BP的最小值為線段A′B的長度．
設(shè)直線A′B的解析式為y=kx+b，
∵A′（3，-2），B（1，6），
∴

3k+b=-2 k+b=6

，解得

k=-4 b=10

，
∴直線A′B的解析式為y=-4x+10，
當(dāng)y=0時(shí)，x=

5

2

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

5

2

，0）；
②如果點(diǎn)P在y軸上，
作點(diǎn)B關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)B′（-1，6），連結(jié)AB′交y軸于點(diǎn)P，則PB′=PB，
所以AP+BP=AP+B′P=AB′，即AP+BP的最小值為線段AB′的長度．
設(shè)直線AB′的解析式為y=mx+n，
∵A（3，2），B′（-1，6），
∴

3m+n=2 -m+n=6

，解得

m=-1 n=5

，
∴直線AB′的解析式為y=-x+5，
當(dāng)x=0時(shí)，y=5，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，5）．
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

5

2

，0）或（0，5）．
故答案為（3，2），（1，6）；0＜x＜1或x＞3．

點(diǎn)評：此題主要考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問題，軸對稱-最短路線問題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式，進(jìn)行分類討論、利用數(shù)形結(jié)合以及方程思想是解題的關(guān)鍵．