Question

10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，已知點(diǎn)A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），點(diǎn)D為頂點(diǎn)．
（1）求此拋物線的解析式及頂點(diǎn)D坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)P是拋物線第四象限上一點(diǎn)（不與點(diǎn)C、B重合），連接PB，以BP為邊作正方形BPMN，當(dāng)頂點(diǎn)M或N恰好落在拋物線對(duì)稱(chēng)軸上時(shí)，求出對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)的坐標(biāo)（結(jié)果保留根號(hào)）；
（3）連結(jié)BD，CD，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸與x軸交于點(diǎn)E． 若線段BD上有一點(diǎn)Q，使∠DCQ=∠BDE，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-3）（x+1），將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入求得a的值，然后利用配方法可求得拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）當(dāng)點(diǎn)N在DE上時(shí)．過(guò)點(diǎn)P作PF⊥OB，垂足為F．先證明△NEB≌△BFP，于是得到BE=PF=2，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x²-2x-3）．由PF=2列出關(guān)于x的方程可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)M在ED上時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥OB，垂足為G，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥ED，垂足為F．先證明△PMF≌△PBG，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x²-2x-3）．然后依據(jù)PG=PF列出關(guān)于x的方程，從而可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）連接BC，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥DE于H，分別延長(zhǎng)QC、DC，與x軸相交于點(diǎn)P，R．先證明△BCD∽△QOC，由相似三角形的性質(zhì)可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后再求得直線CP與直線BD的解析式，然后可求得兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)即可．

解答 解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=a（x-3）（x+1）．
∵將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入得：-3a=-3，解得：a=1，
∴拋物線的解析式為y=x²-2x-3．
∴y=（x-1）²-4．
∴拋物線的頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，-4）．
（2）如圖1所示：當(dāng)點(diǎn)N在DE上時(shí)．過(guò)點(diǎn)P作PF⊥OB，垂足為F．

∵BPMN為正方形，
∴∠NBE+∠PBF=90°．
又∵∠PBF+∠FPB=90°，
∴∠NBE=∠FPB．
在△NEB和△BFP中$\left\{\begin{array}{l}{∠NBE=∠FPB}\\{∠NEB=∠BFP=90°}\\{NB=PB}\end{array}\right.$，
∴△NEB≌△BFP．
∴BE=PF=2．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x²-2x-3）．則-x²+2x+3=2整理得：x²-2x-1=0，
解得：x₁=1+$\sqrt{2}$，x₂=1-$\sqrt{2}$（舍去）．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1+$\sqrt{2}$，-2）．
當(dāng)點(diǎn)M在ED上時(shí)，如圖2所示：過(guò)點(diǎn)P作PG⊥OB，垂足為G，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥ED，垂足為F．

同理△PMF≌△PBG．
∴PG=PF．
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，x²-2x-3）．則-x²+2x+3=x-1．整理得：x²-x-4=0，
解得：x₁=$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，x₂=$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$（舍去）．
∴點(diǎn)P縱坐標(biāo)=-（x-1）=1-$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$=$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$．
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$）．
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1+$\sqrt{2}$，-2）或（$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$）．
（3）如圖3所示：連接BC，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥DE于H，分別延長(zhǎng)QC、DC，與x軸相交于點(diǎn)P，R．

∵對(duì)稱(chēng)軸為直線x=1，
∴點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，0）H點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-3）．
∴CH=DH=1，
∴∠CDH=∠BCO=∠BCH=45°，
∴CD=$\sqrt{2}$，CB=3$\sqrt{2}$，△BCD為直角三角形．
∵∠BDE=∠DCQ=∠PCR，
∠CDB=∠CDE+∠BDE=45°+∠DCQ，
∠PCO=∠RCO+∠PCR=45°+∠DCQ，
∴∠CDB=∠PCO，
∴△BCD∽△QOC，
∴$\frac{PC}{OP}=\frac{CD}{CB}$=$\frac{1}{3}$，
∴OP=3OC=9，即P（-9，0）．
∴直線CP的解析式為y=-$\frac{1}{3}$x-3，
設(shè)直線BD的解析式為y=kx+b．
∵將點(diǎn)B和點(diǎn)D的坐標(biāo)代入得：$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=0}\\{k+b=-4}\end{array}\right.$，解得：k=2，b=-6．
∴直線BD的解析式為y=2x-6．
由方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}x-3}\\{y=2x-6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9}{7}}\\{y=-\frac{24}{7}}\end{array}\right.$．
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（$\frac{9}{7}$，-$\frac{24}{7}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求一次函數(shù)、二次函數(shù)的解析式、全等三角形的性質(zhì)和判定、相似三角形的性質(zhì)，證得△BCD∽△QOC，從而得到P的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．