Question

已知關于x的一元二次方程x²+（2k-1）x+k²+1=0有實數(shù)根x₁、x₂，且x₁²+x₂²=17，求k的值．

Answer 1

考點：根與系數(shù)的關系,根的判別式

專題：

分析：依據(jù)根與系數(shù)關系，表示出兩根的和與兩根的積，依據(jù)x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂，即可得到關于k的方程，即可求得k的值．

解答：解：∵關于x的一元二次方程x²+（2k-1）x+k²+1=0有實數(shù)根x₁、x₂，
∴x₁+x₂=-（2k-1），x₁x₂=k²+1，
∵x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=17，
∴[-（2k-1）]²-2（k²+1）=17，
解得：k₁=1+

10

，k₂=1-

10

，
又∵方程x²+（2k-1）x+k²+1=0有兩個實數(shù)根，
∴△=（2k-1）²-4（k²+1）≥0，
∴k≤-

3

4

∴k₁=1+

10

不合題意，舍去；
故符合條件的k的值為1-

10

．

點評：此題主要考查了根與系數(shù)的關系，將根與系數(shù)的關系與代數(shù)式變形相結合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．通過變形可以得到關于待定系數(shù)的方程解決問題．注意滿足根與系數(shù)的關系定理的前提條件是判別式△≥0．