Question

如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AD，CD上的點，AE=ED，DF=

1

4

DC連結EF并延長交BC的延長線于點G
（1）求證：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形ABCD的邊長為8，求BG的長．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：（1）證明∠A=∠D=90°；證明

AE

DF

=

AB

DE

，結合∠A=∠D，得到△ABE∽△DEF．
（2）證明△DEF∽△CGF，得到

ED

CG

=

DF

CF

；結合DE=4，DF=

1

4

DC，求出CG的長度，即可解決問題．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD為正方形，
∴AD=DC=BC=AB，∠A=∠D=90°，
∵AE=DE，
∴

AE

AB

=

1

2

；
又∵DF=

1

4

DC，
∴

DF

DE

=

1

2

；
∴

AE

AB

=

DF

DE

，即

AE

DF

=

AB

DE

；
∵∠A=∠D，
∴△ABE∽△DEF．
（2）解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴ED∥CG，
∴△DEF∽△CGF，
∴

ED

CG

=

DF

CF

；
又∵DF=

1

4

DC，正方形的邊長為8，
∴ED=4，CG=12，
∴BG=BC+CG=20．

點評：該題主要考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識點及其應用問題；解題的關鍵是牢固掌握正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定及其性質(zhì)等幾何知識點．