Question

19．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，⊙O是Rt△ABC的內切圓，其半徑為1，E是切點，∠BOC=105°，求AE的長．

Answer 1

分析 首先根據切線長的性質以及切線的性質得出BD的長，進而得出BC的長以及AB的長，即可得出AE的長．

解答 解：連接OD、OE．
則OD=OE=1，
∵O是△ABC的內切圓圓心
∴OB、OC分別是∠ABC、∠ACB的角平分線，
即∠OBD=∠OBE=$\frac{1}{2}$∠ABC，且∠OCD=$\frac{1}{2}$∠ACB，
又∵∠ACB=90°，
∴∠OCD=$\frac{1}{2}$∠ACB=45°，
∵OD、OE是過切點的半徑，
∴OD⊥BC 且OE⊥AB，∴∠OCD+∠COD=90°，
∴∠COD=∠OCD=45°，∴OD=CD=1，
∵∠COB=105°，
∴∠DOB=∠COB-∠COD=60°，
在Rt△OBD中，tan∠BOD=$\frac{DB}{OD}$$\frac{BE}{1}$=$\sqrt{3}$，
∴DB=$\sqrt{3}$，
∠OBD+∠BOD=90°，
∴∠OBD=30°，
∵∠DOB=∠OBE=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，
∴∠ABC=60°，
∴BC=BD+CD=1+$\sqrt{3}$
在Rt△ABC中，
AB=2+2$\sqrt{3}$，
在Rt△OBE中，
∵OE=1，∠OBE=30°，
∴BE=$\frac{1}{tan30°}$=$\sqrt{3}$，
∴AE=2+$\sqrt{3}$．

點評 此題主要考查了切線的性質以及銳角三角函數(shù)的應用，正確得出∠ABC的度數(shù)以及BC的長是解題關鍵．