Question

8．如圖，在△ABC中，CD、AE是△ABC的兩條高．
（1）求證：BD•AB=BE•BC；
（2）連接DE，求證：$\frac{DE}{AC}$=$\frac{BE}{AB}$．

Answer 1

分析 （1）證明△ABE∽△CBD，利用相似三角形的性質(zhì)可證得結(jié)論；
（2）利用（1）的結(jié)論可證明△BDE∽△BCA，可證得結(jié)論．

解答 證明：
（1）∵CD、AE是△ABC的兩條高，
∴∠AEB=∠CDB=90°，且∠ABE=∠CBD，
∴△ABE∽△CBD，
∴$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BE}{BD}$，
∴BD•AB=BE•BC；
（2）由（1）可知$\frac{AB}{BC}$=$\frac{BE}{BD}$，
∴$\frac{BE}{AB}$=$\frac{BD}{BC}$，且∠EBD=∠ABC，
∴△BDE∽△BCA，
∴$\frac{DE}{AC}$=$\frac{BE}{AB}$．

點評 本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方法（即兩邊對應(yīng)成比例，且夾角相等或有兩組角對應(yīng)相等的三角形相似）和相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．