Question

8．已知實(shí)數(shù)a，b滿足a-b=1，a²-ab+2＞0，當(dāng)1≤x≤2時(shí)，函數(shù)y=$\frac{a}{x}$（a≠0）的最大值與最小值之差是1，求a的值．

Answer 1

分析 首先根據(jù)條件a-b=1，a²-ab+2＞0可確定a＞-2，然后再分情況進(jìn)行討論：①當(dāng)-2＜a＜0，1≤x≤2時(shí)，函數(shù)y=$\frac{a}{x}$的最大值是y=$\frac{a}{2}$，最小值是y=a，②當(dāng)a＞0，1≤x≤2時(shí)，函數(shù)y=$\frac{a}{x}$的最大值是y=a，最小值是y=$\frac{a}{2}$，再分別根據(jù)最大值與最小值之差是1，計(jì)算出a的值．

解答 解：∵a²-ab+2＞0，
∴a²-ab＞-2，
a（a-b）＞-2，
∵a-b=1，
∴a＞-2，
①當(dāng)-2＜a＜0，1≤x≤2時(shí)，函數(shù)y=$\frac{a}{x}$的最大值是y=$\frac{a}{2}$，最小值是y=a，
∵最大值與最小值之差是1，
∴$\frac{a}{2}$-a=1，
解得：a=-2，不合題意，舍去；
②當(dāng)a＞0，1≤x≤2時(shí)，函數(shù)y=$\frac{a}{x}$的最大值是y=a，最小值是y=$\frac{a}{2}$，
∵最大值與最小值之差是1，
∴a-$\frac{a}{2}$=1，
解得：a=2，符合題意，
∴a的值是2．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$（k≠0），當(dāng)k＞0，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而減��；當(dāng)k＜0，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每一象限內(nèi)y隨x的增大而增大．