Question

2．如圖1，在?ABCD中，AB=2$\sqrt{5}$，tanB=2，點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，CE的延長線與BA的延長線相交于點(diǎn)P．
（1）求證：AP=AB；
（2）點(diǎn)F是線段BP上一點(diǎn)，且CF⊥BP，連接EF；
①若AF=$\frac{1}{2}$AB，直接寫出EF的長；
②如圖2，若BC=4$\sqrt{5}$，∠FED與∠PFE之間的數(shù)量關(guān)系滿足∠FED=n∠PFE，求n的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知AE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)和點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，得到答案；
（2）①根據(jù)AB=2$\sqrt{5}$，AF=$\frac{1}{2}$AB，求出AF的長和BF的長，根據(jù)勾股定理求出PC，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到答案；
②證明∠FED=3∠PFE，求出n的值．

解答 解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AE∥BC，
∴$\frac{AE}{BC}$=$\frac{PA}{PB}$，
又∵點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，
∴PB=2PA，
即AP=AB；
（2）∵AF=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{5}$，
∴BF=$\sqrt{5}$，
又∵CF⊥BP，tanB=2，
∴FC=2$\sqrt{5}$，
PF=PA+AF=3$\sqrt{5}$，
根據(jù)勾股定理，PC=$\sqrt{P{F}^{2}+F{C}^{2}}$=$\sqrt{65}$，
由（1）得，PE=EC，
∵CF⊥BP，PE=EC，
∴EF=$\frac{1}{2}$PC=$\frac{\sqrt{65}}{2}$；
②∵EF=PE=EC，
∴∠P=∠PFE，∠FEC=∠P+∠PFE=2∠PFE，
又∵AP=AE，
∴∠P=∠AEP=∠CED，
∴∠FED=3∠PFE，
∴n=3．

點(diǎn)評 本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，靈活運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行解答是解題的關(guān)鍵，直角三角形的性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半．