Question

14．如圖，A（1，0），B（3，0），C（0，3），D（2，-1），
（1）試在y軸上找一點P，使三角形ADP的面積與三角形ABC的面積相等．
（2）如果第二象限內有一點Q（a，1），使S_△QAC=S_△ABC，求Q點坐標．

Answer 1

分析 （1）①如圖當P₁（0，m）在x的正半軸上時，作DM⊥OB，P₁M⊥OP₁，根據${S}_{△{P}_{2}AD}$=${S}_{△{P}_{2}OD}{+S}_{△OAD}{-S}_{△AO{P}_{2}}$=S_△ABC列出方程求出m，②當P₂（0，n）在負半軸上時，根據${S}_{△{P}_{2}AD}$=${S}_{△{P}_{2}OD}{+S}_{△OAD}{-S}_{△AO{P}_{2}}$=S_△ABC列出方程解決．
（2）設Q（a，1），（a＜0），根據S_QAC=S_△QOC+S_△AOC-S_△AOQ=S_△ABC列出方程解決．

解答 解：（1）如圖1中，當P₁在x的正半軸上時，作DM⊥OB，P₁M⊥OP₁于M，設P₁0，m），

∵${S}_{△{P}_{1}AD}$=${S}_{△{P}_{1}AM}{+S}_{△AMD}$-${S}_{△{P}_{1}DM}$=S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$×2×m+$\frac{1}{2}$×（m+1）×1-$\frac{1}{2}$×2×（m+1）=3，
∴m=7．
∴P₁（0，7），
當P₂（0，n）在負半軸上時，
∵${S}_{△{P}_{2}AD}$=${S}_{△{P}_{2}OD}{+S}_{△OAD}{-S}_{△AO{P}_{2}}$=S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$×（-n）×2+$\frac{1}{2}×1×1$-$\frac{1}{2}$×（-n）×1=3，
∴n=-5，
∴P₂（0，-5）．
∴點P的坐標為（0，7）或（0，-5）．
（2）如圖2中，設Q（a，1），（a＜0），

∵S_QAC=S_△QOC+S_△AOC-S_△AOQ=S_△ABC，
∴$\frac{1}{2}$×3×（-a）+$\frac{1}{2}$×1×3-$\frac{1}{2}$×1×1=3，
∴a=-$\frac{4}{3}$，
∴點Q（-$\frac{4}{3}$，1）．

點評 本題考查坐標與性質、三角形的面積等知識，解題的關鍵是利用分割法找出等量關系列方程解決，屬于中考�？碱}型．