Question

12．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，AB=10，點(diǎn)O為BC上的點(diǎn)，⊙O的半徑OC=1，點(diǎn)D是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)D作⊙O的一條切線DE（點(diǎn)E為切點(diǎn)），則線段DE的最小值為（　�。�

• A． $3\sqrt{2}-1$
• B． $\sqrt{15}-1$
• C． $\sqrt{15}$
• D． 4

Answer 1

分析 連接OE、OD，由DE為⊙O的切線知DE²+OE²=OD²即DE=$\sqrt{O{D}^{2}-1}$，要使DE最小，則OD最小即可，根據(jù)題意可知當(dāng)OD⊥AB時(shí)，OD最小，通過證明△BDO∽△BCA可得OD的長度，可得DE的最小值．

解答 解：如圖，連接OE、OD，

在Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=8，AB=10，
∴BC=6，
∵DE為⊙O的切線，
∴∠DEO=90°，
∴DE²+OE²=OD²，
∵OE=1，
∴DE²=OD²-1，即DE=$\sqrt{O{D}^{2}-1}$，
要使DE最小，則OD最小即可，
∵D為AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，
∴當(dāng)OD⊥AB時(shí)，OD最小，
∵BC=6，OC=1，
∴BO=5，
∵∠ODB=∠ACB=90°，∠B=∠B，
∴△BDO∽△BCA，
∴$\frac{OD}{AC}=\frac{BO}{AB}$，即$\frac{OD}{8}=\frac{5}{10}$，
解得：OD=4，
∴DE=$\sqrt{{4}^{2}-1}$=$\sqrt{15}$，
故選：C．

點(diǎn)評 本題主要考查切線的性質(zhì)，關(guān)于圓的切線常添的輔助線是連接圓心和切點(diǎn)可得直角，本題中意識到要使DE最小則OD最小即可是關(guān)鍵．