Question

8．如圖，從A地到B地的公路需經(jīng)過C地，圖中AC=6千米，∠CAB=15°，∠CBA=30°．因城市規(guī)劃的需要，將在A、B兩地之間修建一條筆直的公路．
（1）求改直后的公路AB的長；
（2）問公路改直后該段路程比原來縮短了多少千米？（結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

分析 （1）過點(diǎn)A作AD⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)D，在RtACD中，∠ADC=90°，∠ACD=45°，AC=6，推出CD=AD=3$\sqrt{2}$，在RtABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，AD=3$\sqrt{2}$，推出AB=6$\sqrt{2}$，即可解決問題．
（2）根據(jù)AC和BC的長度，即可得出公路改直后該段路程比原來縮短的路程．

解答 解：（1）過點(diǎn)A作AD⊥BC交BC的延長線于點(diǎn)D，
∵∠B=30°，∠CAB=15°，
∴∠ACD=45°．
在RtACD中，∠ADC=90°，∠ACD=45°，AC=6，
∴CD=AD=3$\sqrt{2}$，
在RtABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，AD=3$\sqrt{2}$，
∴AB=6$\sqrt{2}$，
答：改直后的公路AB的長為6$\sqrt{2}$千米．

（2）在RtABD中，∠ADB=90°，∠B=30°，AD=3$\sqrt{2}$，
∴BD=3$\sqrt{6}$
∴BC=3$\sqrt{6}$-3$\sqrt{2}$，
AC+BC-AB=6+3$\sqrt{6}$-3$\sqrt{2}$-6$\sqrt{2}$
=6+3$\sqrt{6}$-9$\sqrt{2}$（1分）
答：公路改直后該段路程比原來縮短了（6+3$\sqrt{6}$-9$\sqrt{2}$）千米．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．