Question

已知頂點(diǎn)為P的拋物線(xiàn)C₁的解析式是y=a（x-3）²（a≠0），且經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1）．
（1）求a的值；
（2）如圖將拋物線(xiàn)C₁向下平移h（h＞0）個(gè)單位得到拋物線(xiàn)C₂，過(guò)點(diǎn)K（0，m²）（m＞0）作直線(xiàn)l平行于x軸，與兩拋物線(xiàn)從左到右分別相交于A、B、C、D四點(diǎn)，且A、C兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．
①點(diǎn)G在拋物線(xiàn)C₁上，當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形APCG是平行四邊形？
②若拋物線(xiàn)C₁的對(duì)稱(chēng)軸與直線(xiàn)l交于點(diǎn)E，與拋物線(xiàn)C₂交于點(diǎn)F，試探究：在K點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，

KC

PF

的值是否會(huì)改變？若會(huì)，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不會(huì)，請(qǐng)求出這個(gè)值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專(zhuān)題：

分析：（1）直接利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式得出即可；
（2）首先得出△GQK≌△POK（ASA），進(jìn)而得出頂點(diǎn)G在拋物線(xiàn)C₁上，得出2m²=

1

9

（-3-3）²，進(jìn)而得出答案；
（3）利用函數(shù)對(duì)稱(chēng)性表示出A點(diǎn)坐標(biāo)，再表示出KC，PF的長(zhǎng)，進(jìn)而得出其比值．

解答：解：（1）∵拋物線(xiàn)C₁的解析式是y=a（x-3）²（a≠0），經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，1），
∴1=a（0-3）²，
解得：a=

1

9

，

（2）①∵A、C兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
∴點(diǎn)K為AC的中點(diǎn)，
若四邊形APCG是平行四邊形，則必有點(diǎn)K是PG的中點(diǎn)，
過(guò)點(diǎn)G作GQ⊥y軸于點(diǎn)Q，
在△GQK和△POK中

∠GQK=∠POK QK=OK ∠QKG=∠OKP

，
∴△GQK≌△POK（ASA），
∴GQ=PO=3，KQ=OK=m²，OQ=2m²，
∴點(diǎn)G（-3，2m²），
∵頂點(diǎn)G在拋物線(xiàn)C₁上，
∴2m²=

1

9

（-3-3）²，
解得：m=±

2

，
又∵m＞0，
∴m=

2

，
∴當(dāng)m=

2

時(shí)，四邊形APCG是平行四邊形；

②

KC

PF

的值不會(huì)改變；
理由：在拋物線(xiàn)y=

1

9

（x-3）²中，令y=m²，
解得：x=3±3m，
又∵m＞0，且點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)，
∴C（3+3m，m²），KC=3+3m，
∵A、C兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，
∴A（-3-3m，m²），
∵將拋物線(xiàn)C₁向下平移h（h＞0）個(gè)單位得到拋物線(xiàn)C₂，
∴拋物線(xiàn)C₂的解析式為：y=

1

9

（x-3）²-h，
∴m²=

1

9

（-3-3m-3）²-h，
解得：h=4m+4，
∴PF=4+4m，
∴

KC

PF

=

3+3m

4+4m

=

3

4

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及二次函數(shù)的平移以及全等三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，利用二次函數(shù)對(duì)稱(chēng)性得出A點(diǎn)坐標(biāo)是解題關(guān)鍵．