Question

矩形OABC在直角坐標(biāo)系中位置如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），直線y=2x與AB邊相交于點(diǎn)B．
（1）求點(diǎn)B、C的坐標(biāo)．
（2）若拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過C、B兩點(diǎn)，試求拋物線的表達(dá)式．
（3）設(shè)（2）中拋物線的對稱軸與直線OB交于點(diǎn)H，點(diǎn)P為對稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，以O(shè)、H、P為頂點(diǎn)的三角形與△OCB相似，求符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）將x=3代入y=2x，求出y的值，即可得到點(diǎn)B、C的坐標(biāo)；
（2）將C、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入y=x²+bx+c，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的表達(dá)式；
（3）由于∠OHP≠90°，而∠OCB=90°，所以當(dāng)以O(shè)、H、P為頂點(diǎn)的三角形與△OCB相似時(shí)，分兩種情況進(jìn)行討論：①∠HOP=90°；②∠OPH=90°．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

3

2

，y）．根據(jù)勾股定理列出關(guān)于y的方程，解方程即可．

解答：解：（1）將x=3代入y=2x，得y=2×3=6，
所以B（3，6），C（0，6）；

（2）∵拋物線y=x²+bx+c經(jīng)過C、B兩點(diǎn)，
∴

c=6 9+3b+c=6

，解得

b=-3 c=6

，
故所求拋物線的表達(dá)式為y=x²-3x+6；

（3）∵y=x²-3x+6，
∴對稱軸為x=

3

2

．
將x=

3

2

代入y=2x，得y=2×

3

2

=3，
∴H（

3

2

，3）．
以O(shè)、H、P為頂點(diǎn)的三角形與△OCB相似時(shí)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

3

2

，y）．
分兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)∠HOP=90°時(shí)，由勾股定理，得OH²+OP²=HP²，
即

9

4

+9+

9

4

+y²=（y-3）²，解得y=-

3

4

，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

3

2

，-

3

4

）；
②當(dāng)∠OPH=90°，由勾股定理，得HP²+OP²=OH²，
即

9

4

+y²+（y-3）²=

9

4

+9，解得y₁=0，y₂=3（不合題意舍去）
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

3

2

，0）．
綜上可知，符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

3

2

，-

3

4

）或（

3

2

，0）．

點(diǎn)評：本題考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)的求法，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，綜合性較強(qiáng)，難度適中．其中（3）運(yùn)用分類討論是解題的關(guān)鍵．