Question

17．如圖1，拋物線y=ax²-6x+c與x軸交于點A（-5，0）、B（-1，0），與y軸交于點C（0，-5），點P是拋物線上的動點，連接PA、PC，PC與x軸交于點D．
（1）求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)解析式；
（2）若點P的坐標為（-2，3），請求出此時△APC的面積；
（3）過點P作y軸的平行線交x軸于點H，交直線AC于點E，如圖2．
①若∠APE=∠CPE，求證：$\frac{AE}{EC}=\frac{3}{7}$；
②△APE能否為等腰三角形？若能，請求出此時點P的坐標；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設(shè)交點式為y=a（x+5）（x+1），然后把C點坐標代入求出a即可；
（2）先利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式為y=-x-5，作PQ∥y軸交AC于Q，如圖1，由P點坐標得到Q（-2，-3），則PQ=6，然后根據(jù)三角形面積公式，利用S_△APC=S_△APQ+S_△CPQ進行計算；
（3）①由∠APE=∠CPE，PH⊥AD可判斷△PAD為等腰三角形，則AH=DH，設(shè)P（x，-x²-6x-5），則OH=-x，OD=-x-DH，通過證明△PHD∽△COD，利用相似比可表示出DH=-x-$\frac{5}{x+6}$，則-x-x-$\frac{5}{x+6}$=5，則解方程求出x可得到OH和AH的長，然后利用平行線分線段成比例定理計算出$\frac{AE}{EC}$=$\frac{3}{7}$；
②設(shè)P（x，-x²-6x-5），則E（x，-x-5），分類討論：當PA=PE，易得點P與B點重合，此時P點坐標為（-1，0）；當AP=AE，如圖2，利用PH=HE得到|-x²-6x-5|=|-x-5|，當E′A=E′P，如圖2，AE′=$\sqrt{2}$E′H′=$\sqrt{2}$（x+5），P′E′=x²+5x，則|x²+5x|=$\sqrt{2}$（x+5），然后分別解方程求出x可得到對應(yīng)P點坐標．

解答 （1）解：設(shè)拋物線解析式為y=a（x+5）（x+1），
把C（0，-5）代入得a•5•1=-5，解得a=-1，
所以拋物線解析式為y=-（x+5）（x+1），即y=-x²-6x-5；
（2）解：設(shè)直線AC的解析式為y=mx+n，
把A（-5，0），C（0，-5）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-5m+n=0}\\{n=-5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=-5}\end{array}\right.$，
∴直線AC的解析式為y=-x-5，
作PQ∥y軸交AC于Q，如圖1，則Q（-2，-3），
∴PQ=3-（-3）=6，
∴S_△APC=S_△APQ+S_△CPQ=$\frac{1}{2}$•PQ•5=$\frac{1}{2}$×6×5=15；
（3）①證明：∵∠APE=∠CPE，
而PH⊥AD，
∴△PAD為等腰三角形，
∴AH=DH，
設(shè)P（x，-x²-6x-5），則OH=-x，OD=-x-DH，
∵PH∥OC，
∴△PHD∽△COD，
∴PH：OC=DH：OD，即（-x²-6x-5）：5=DH：（-x-DH），
∴DH=-x-$\frac{5}{x+6}$，
而OH+AH=5，即OH+DH=5，
∴-x-x-$\frac{5}{x+6}$=5，
整理得2x²+17x+35=0，解得x₁=-$\frac{7}{2}$，x₂=-5（舍去），
∴OH=$\frac{7}{2}$，
∴AH=5-$\frac{7}{2}$=$\frac{3}{2}$，
∵HE∥OC，
∴$\frac{AE}{EC}$=$\frac{AH}{OH}$=$\frac{\frac{3}{2}}{\frac{7}{2}}$=$\frac{3}{7}$；
②能．設(shè)P（x，-x²-6x-5），則E（x，-x-5），
當PA=PE，因為∠PEA=45°，所以∠PAE=45°，則點P與B點重合，此時P點坐標為（-1，0）；
當AP=AE，如圖2，則PH=HE，即|-x²-6x-5|=|-x-5|，解-x²-6x-5=-x-5得x₁=-5（舍去），x₂=0（舍去）；解-x²-6x-5=x+5得x₁=-5（舍去），x₂=-2，此時P點坐標為（-2，3）；
當E′A=E′P，如圖2，AE′=$\sqrt{2}$E′H′=$\sqrt{2}$（x+5），P′E′=|-x-5-（-x²-6x-5）|=|x²+5x|，若x²+5x=$\sqrt{2}$（x+5），解得x₁=-5（舍去），x₂=$\sqrt{2}$，此時P點坐標為（$\sqrt{2}$，-7-6$\sqrt{2}$）；若x²+5x=-$\sqrt{2}$（x+5），解得x₁=-5（舍去），x₂=-$\sqrt{2}$，此時P點坐標為（-$\sqrt{2}$，6$\sqrt{2}$-7）．

綜上所述，滿足條件的P點坐標為（-1，0），（-2，3），（$\sqrt{2}$，-7-6$\sqrt{2}$），（-$\sqrt{2}$，6$\sqrt{2}$-7）．

點評 本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征和等腰三角形的判定；會運用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；理解坐標與圖形性質(zhì)，能運用相似比計算線段的長；會運用方程的思想和分類討論的思想解決問題．