Question

20．已知：如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，點E是對角線AC上一點，∠ADC=∠ABC．
（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形；
（2）分別過點E、B作AB和AC的平行線交于點F，連接CF，若∠FCE=∠DCE，求證：四邊形EFCD是菱形．

Answer 1

分析 （1）欲證明四邊形ABCD是平行四邊形，只需推知AD∥BC；
（2）根據(jù)平行四邊形的定義求出四邊形ABFE是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形對邊平行且相等可得AB∥EF，AB=EF，再求出CD∥EF，CD=EF，然后利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形求出四邊形EFCD是平行四邊形，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等可得∠FEC=∠ECD，從而求出∠FEC=∠FCE，根據(jù)等邊對等角可得EF=FC，再根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形求出平行四邊形EFCD是菱形．

解答 證明：（1）∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD=180°．
∵∠ADC=∠ABC，
∴∠ADC+∠BCD=180°，
∴AD∥BC，
又AB∥CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形；

（2）∵EF∥AB，BF∥AE，
∴四邊形ABFE是平行四邊形，
∴AB∥EF，AB=EF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴CD∥EF，CD=EF，
∴四邊形EFCD是平行四邊形，
∵CD∥EF，
∴∠FEC=∠ECD，
又∵∠DCE=∠FCE，
∴∠FEC=∠FCE，
∴EF=FC，
∴平行四邊形EFCD是菱形．

點評 本題考查平行四邊形、菱形的判定，具體選擇哪種方法需要根據(jù)已知條件來確定．