Question

18．如圖，一次函數(shù)y=x+3的圖象與坐標軸分別交于A，B兩點，二次函數(shù)y=ax²+bx-3a的圖象經(jīng)過點A，B．
（1）求二次函數(shù)y=ax²+bx-3a的表達式．
（2）設(shè)此拋物線頂點為C，點B關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點為D，求證：CD∥AB．
（3）試問直線AB上是否存在點P，使得△BDP與△BCD相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）先求得點B和點A的坐標，然后將點A和點B的坐標代入拋物線的解析式可求得a、b的值，從而得到拋物線的解析式；
（2）利用配方法可求得點C的坐標、拋物線的對稱軸，從而可得到點D的坐標，然后可求得DC的解析式，然后依據(jù)直線y=x+3與DC的一次項系數(shù)相同可得到DC與BA的位置關(guān)系；
（3）過點D作DP∥y軸，過點D作DP′⊥AB，垂足為P′，過點P′作P′E⊥BD，垂足為E先證明△DBC為等腰直角三角形，故此當△BDP為等腰直角三角形時，兩三角形相似，故此可求得點P的坐標．

解答 解：（1）把x=0代入y=x+3得：y=3，
∴B（0，3）．
把y=0代入得：x+3=0，解得：x=-3．
∴A（-3，0）．
將點A和點B的坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-3a=3}\\{9a-3b-3a=0}\end{array}\right.$，解得：a=-1，b=-2．
∴拋物線的解析式為y=-x²-2x+3．

（2）∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴C（-1，4），拋物線的對稱軸為x=-1．
∵點D與點B關(guān)于x=-1對稱，
∴D（-2，3）．
設(shè)直線DC的解析式為y=kx+b，將點C、D的坐標代入得：$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=4}\\{-2k+b=3}\end{array}\right.$，解得：k=1，b=5．
∴直線DC的解析式為y=x+5．
∵直線AB的解析式為y=x+3，直線DC的解析式為y=x+5，
∴DC∥AB．

（3）如圖所示：過點P′作P′E⊥BD，垂足為E．

∵B（0，3），A（-3，0），
∴OA=OB．
∴∠ABO=45°．
∵點B與點D關(guān)于x=-1對稱，
∴∠DBO=90°．
∴∠DBA=45°．
由兩點間的距離公式可知：DC=$\sqrt{2}$，BC=$\sqrt{2}$，BD=2．
∴△DBC為等腰直角三角形．
∵△BDP與△BCD相似，
∴△BDP為等腰直角三角形．
∴∠PDB=90°或∠DP′B=90°．
當∠PDB=90°時，DP∥y軸，
∴點P的坐標為-2．
將x=-2代入y=x+3得：y=1，
∴點P的坐標為（-2，1）．
當∠DP′B=90°時，P′D=P′B，P′E⊥BD，
∴DE=BE=EP′=1．
∴點P′的坐標為（-1，-1）．
綜上所述點P的坐標為（-2，1）或（-1，-1）．

點評 本題主要考查的是二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解答本題主要應(yīng)用了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、一次函數(shù)的解析式、相似三角形的判定、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，求得DC的解析式是解答問題（2）的關(guān)鍵，證得△BCD為等腰直角三角形是解答問題（3）的關(guān)鍵．