Question

3．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，∠EBC的平分線奇交CD于點(diǎn)F，將△DEF沿EF折疊，點(diǎn)D恰好落在BE上M點(diǎn)處，延長BC、EF交于點(diǎn)N，有下列四個結(jié)論：
①DF=CF；②BF⊥EN；③S_△BEF=3S_△DEF；④CN=DE．
其中，將正確的結(jié)論有幾個：（　�。�

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 由折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)與角平分線的性質(zhì)，可證得CF=FM=DF；易求得∠BFE=∠BFN，則可得BF⊥EN；易求得BM=2EM=2DE，即可得EB=3EM，根據(jù)等高三角形的面積比等于對應(yīng)底的比，即可求得答案．

解答 解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠D=∠BCD=90°，DF=MF．
由折疊的性質(zhì)可得：∠EMF=∠D=90°，
即FM⊥BE，CF⊥BC，
∵BF平分∠EBC，
∴CF=MF．
∴DF=CF；故①正確．
∵∠BFM=90°-∠EBF，∠BFC=90°-∠CBF，
∴∠BFM=∠BFC．
∵∠MFE=∠DFE=∠CFN，
∴∠BFE=∠BFN．
∵∠BFE+∠BFN=180°，
∴∠BFE=90°．
即BF⊥EN，故②正確．
在△DEF和△CNF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠FCN=90°}\\{DF=CF}\\{∠DFE=∠CFN}\end{array}\right.$，
∴△DEF≌△CNF（ASA）．
∴EF=FN．
∴BE=BN．
∵∠BFM=∠BFC，BM⊥FM，BC⊥CF，
∴BM=BC=AD=2DE=2EM．
∴BE=3EM．
∴S_△BEF=3S_△EMF=3S_△DEF；
故③正確．
在△CFN與△DFE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠NCF=∠D=90°}\\{∠CF=DF}\\{∠CFN=∠DFE}\end{array}\right.$，
∴△CFN≌△DEF，
∴CN=DE；故④正確．
故選C．

點(diǎn)評 此題考查了折疊的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．