Question

11．如圖，在Rt△ABC 中，AB=AC，D、E是斜邊BC上兩點(diǎn)，且∠DAE=45°，將△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△AFB，連接EF．下列結(jié)論中正確的有①②③．（請(qǐng)將正確答案的序號(hào)填在橫線上）
①∠EAF=45°   
②EA平分∠CEF  
③BE²+DC²=DE²   
④BE=DC．

Answer 1

分析 根據(jù)等腰直角三角形求出∠ABC=∠C=45°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)得出BF=DC，∠CAD=∠BAF，∠DAF=90°，∠FBA=∠C，即可判斷①，證△EAF≌△EAD，即可判斷②，求出BF=DC，∠FBE=90°，根據(jù)勾股定理即可判斷③，根據(jù)已知判斷④即可．

解答 解：正確的有①②③，
理由是：∵在Rt△ABC 中，AB=AC，
∴∠C=∠ABC=45°，
∵將△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△AFB，
∴△AFB≌△ADC，
∴BF=DC，∠CAD=∠BAF，∠DAF=90°，
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，
∴∠BAE+∠DAC=45°，
∴∠EAF=∠BAF+∠BAE=∠DAC+∠BAE=45°，∴①正確；
即∠FAE=∠DAE=45°，
在△FAE和△DAE中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{∠FAE=∠DAE}\\{AF=AD}\end{array}\right.$
∴△FAE≌△DAE（SAS），
∴∠FEA=∠DEA，
即EA平分∠CEF，∴②正確；
∴EF=DE，
∵將△ADC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△AFB，
∴∠C=∠FBA=45°，BF=DC，
∵∠ABC=45°，
∴∠FBE=45°+45°=90°，
在Rt△FBE中，由勾股定理得：BE²+BF²=EF²，
∵BF=DC，EF=DE，
∴BE²+DC²=DE²，∴③正確；
不能推出BE=DC，∴④錯(cuò)誤；
故答案為：①②③．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用定理進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．