Question

7．已知關(guān)于x的一次方程x²+（2m-1）+m²=0有兩個實數(shù)根x₁和x₂
（1）求實數(shù)m的取值范圍；
（2）當(dāng)x₁²-x₂²=0時，求m的值．

Answer 1

分析 （1）若一元二次方程有兩實數(shù)根，則根的判別式△=b²-4ac≥0，建立關(guān)于m的不等式，求出m的取值范圍；
（2）由x₁²-x₂²=0得x₁+x₂=0或x₁-x₂=0；當(dāng)x₁+x₂=0時，運用兩根關(guān)系可以得到-2m-1=0或方程有兩個相等的實根，據(jù)此即可求得m的值

解答 解：（1）∵方程x²+（2m-1）+m²=0有兩個實數(shù)根x₁和x₂，
∴△=（2m-1）²-4m²≥0，
解得：m≤$\frac{1}{4}$；

（2）由兩根關(guān)系，得：x₁+x₂=-（2m-1），x₁•x₂=m²，
由x₁²-x₂²=0得（x₁+x₂）（x₁-x₂）=0，
若x₁+x₂=0，即-（2m-1）=0，解得m=$\frac{1}{2}$，
∵$\frac{1}{2}$＞$\frac{1}{4}$，
∴m=$\frac{1}{2}$不合題意，舍去，
若x₁-x₂=0，即x₁=x₂
∴△=0，由（1）知m=$\frac{1}{4}$，
故當(dāng)x₁²-x₂²=0時，m=$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了一元二次方程根的判別式及根與系數(shù)關(guān)系，利用兩根關(guān)系得出的結(jié)果必須滿足△≥0及熟練掌握韋達(dá)定理是關(guān)鍵．