Question

3．如圖，拋物線y₁=$\frac{1}{2}$x²+bx+c與x軸交于點(diǎn)A、B，交y軸于點(diǎn)C（0，-2$\sqrt{3}$），且拋物線對稱軸x=-2交x軸于點(diǎn)D，E是拋物線在第3象限內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)．
（1）求拋物線y₁的解析式；
（2）將△OCD沿CD翻折后，O點(diǎn)對稱點(diǎn)O′是否在拋物線y₁上？請說明理由．
（3）若點(diǎn)E關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)E′恰好落在x軸上，過E′作x軸的垂線交拋物線y1于點(diǎn)F，①求點(diǎn)F的坐標(biāo)；②直線CD上是否存在點(diǎn)P，使|PE-PF|最大？若存在，試寫出|PE-PF|最大值．

Answer 1

分析 （1）先由拋物線對稱軸方程可求出b=2，再把點(diǎn)C（0，-2$\sqrt{3}$）代入y₁=$\frac{1}{2}$x²+bx+c可得c=2$\sqrt{3}$，所以拋物線解析式為y₁=$\frac{1}{2}$x²+2x-2$\sqrt{3}$；
（2）過O′點(diǎn)作O′H⊥x軸于H，如圖1，由（1）得D（-2，0），C（0，2$\sqrt{3}$），在Rt△OCD中利用三角函數(shù)可計(jì)算出∠ODC=60°，再利用折疊的性質(zhì)得O′D=OD=2，∠O′DC=∠ODC=60°，所以∠O′DH=60°，接著在Rt△O′DH中利用三角函數(shù)可計(jì)算出O′H=$\sqrt{3}$，利用勾股定理計(jì)算出DH=1，則O′（-3，-$\sqrt{3}$），然后根據(jù)二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征判斷O′點(diǎn)是否在拋物線y₁上；
（3）①利用二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征設(shè)E（m，$\frac{1}{2}$m²+2m-2$\sqrt{3}$）（m＜0），過E作EH⊥x軸于H，連結(jié)DE，如圖2，則DH=-2-m，EH=-$\frac{1}{2}$m²-2m+2$\sqrt{3}$，由（2）得∠ODC=60°，再利用軸對稱性質(zhì)得DC平分∠EDE′，DE=DE′，則∠EDE′=120°，所以∠EDH=60°，于是在Rt△EDH中利用三角函數(shù)的定義可得-$\frac{1}{2}$m²-2m+2$\sqrt{3}$=（-2-m）•$\sqrt{3}$，解得m₁=2$\sqrt{3}$（舍去），m₂=-4，則E（-4，-2$\sqrt{3}$），接著計(jì)算出DE=4，所以DE′=4，于是得到E′（2，0），然后計(jì)算x=2時(shí)得函數(shù)值即可得到F點(diǎn)坐標(biāo)；
②由于點(diǎn)E關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)E′恰好落在x軸，則PE=PE′，根據(jù)三角形三邊的關(guān)系得|PE′-PF|≤E′F（當(dāng)點(diǎn)P、E′F共線時(shí)，取等號），于是可判斷直線CD上存在點(diǎn)P，使|PE-PF|最大，最大值為6-2$\sqrt{3}$．

解答 解：（1）∵拋物線對稱軸x=-2，
∴-$\frac{2×\frac{1}{2}}$=-2，
解得b=2，
∵點(diǎn)C（0，-2$\sqrt{3}$）在拋物線y₁=$\frac{1}{2}$x²+bx+c上，
∴c=2$\sqrt{3}$，
∴拋物線解析式為y₁=$\frac{1}{2}$x²+2x-2$\sqrt{3}$；
（2）O點(diǎn)對稱點(diǎn)O′不在拋物線y₁上．理由如下：
過O′點(diǎn)作O′H⊥x軸于H，如圖1，由（1）得D（-2，0），C（0，2$\sqrt{3}$），
在Rt△OCD中，∵OD=2，OC=$\sqrt{3}$，
∴tan∠ODC=$\frac{2\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴∠ODC=60°，
∵△OCD沿CD翻折后，O點(diǎn)對稱點(diǎn)O′，
∴O′D=OD=2，∠O′DC=∠ODC=60°，
∴∠O′DH=60°，
在Rt△O′DH中，sin∠O′DH=$\frac{O′H}{O′D}$，
∴O′H=2sin60°=$\sqrt{3}$，
∴DH=$\sqrt{{2}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=1，
∴O′（-3，-$\sqrt{3}$），
∵當(dāng)x=-3時(shí)，y₁=$\frac{1}{2}$x²+2x-2$\sqrt{3}$=$\frac{1}{2}$×9+2×（-3）-2$\sqrt{3}$≠-$\sqrt{3}$，
∴O′點(diǎn)不在拋物線y₁上；
（3）①設(shè)E（m，$\frac{1}{2}$m²+2m-2$\sqrt{3}$）（m＜0），
過E作EH⊥x軸于H，連結(jié)DE，如圖2，則DH=-2-m，EH=-（$\frac{1}{2}$m²+2m-2$\sqrt{3}$）=-$\frac{1}{2}$m²-2m+2$\sqrt{3}$，
由（2）得∠ODC=60°，
∵點(diǎn)E關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)E′恰好落在x軸上，
∴DC垂直平分EE′，
∴DC平分∠EDE′，DE=DE′，
∴∠EDE′=120°，
∴∠EDH=60°，
在Rt△EDH中，∵tan∠EDH=$\frac{EH}{HD}$，
∴EH=HDtan60°，即-$\frac{1}{2}$m²-2m+2$\sqrt{3}$=（-2-m）•$\sqrt{3}$，
整理得m²+（4+2$\sqrt{3}$）m-8$\sqrt{3}$=0，解得m₁=2$\sqrt{3}$（舍去），m₂=-4，
∴E（-4，-2$\sqrt{3}$），
∴HD=2，EH=2$\sqrt{3}$，
∴DE=$\sqrt{{2}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=4，
∴DE′=4，
∴E′（2，0），
而E′F⊥x軸，
∴F點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，
當(dāng)x=2時(shí)，y₁=$\frac{1}{2}$x²+2x-2$\sqrt{3}$=6-2$\sqrt{3}$，
∴F（2，6-2$\sqrt{3}$）；
②∵點(diǎn)E關(guān)于直線CD的對稱點(diǎn)E′恰好落在x軸，
∴PE=PE′，
∴|PE′-PF|≤E′F（當(dāng)點(diǎn)P、E′F共線時(shí)，取等號），
∴直線CD上存在點(diǎn)P，使|PE-PF|最大，最大值為6-2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了二次函數(shù)綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)；會(huì)運(yùn)用三角函數(shù)進(jìn)行幾何計(jì)算；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)．