Question

如圖，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD邊上一點(diǎn)（點(diǎn)E與點(diǎn)A，D不重合）．BE的垂直平分線交AB于M，交DC于N，交BE于P．
（1）設(shè)AE=x，四邊形ADNM的面積為S，求出S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并寫出自變量x的取值范圍；
（2）當(dāng)AE為何值時(shí)，四邊形ADNM的面積最大？最大值是多少？
（3）在（2）的情況下，寫出

MF

FN

的值．

Answer 1

考點(diǎn)：四邊形綜合題

專題：

分析：（1）解題的關(guān)鍵是作輔助線ME、FN，證明出來(lái)△EBA≌△MNF，把需要解決的問題轉(zhuǎn)化成解直角三角形的問題，利用勾股定理解答．
（2）根據(jù)（1）的答案，利用二次函數(shù)的最值問題即可求出；
（3）在（2）的條件下，利用全等三角形的性質(zhì)得到AE=MF=1，AB=FN=2，所以易求

MF

FN

的值．

解答：解：（1）如圖，連接ME，設(shè)MN交BE于P，則MB=ME，MN⊥BE．
過N作AB的垂線交AB于F．
在Rt△MBP中，∠MBP+∠BMN=90°，
在Rt△MNF中，∠FNM+∠BMN=90°，
∴∠MBP=∠FNM，即∠ABE=∠FNM
在△EBA與△MNF中，

∠A=∠MFN AB=FN ∠ABE=∠FNM

，
∴△EBA≌△MNF（ASA），
∴MF=AE=x．
在Rt△AME中，AE=x，ME=MB=AB-AM=2-AM，則由勾股定理得到：（2-AM）²=x²+AM²．
整理，得
4-4AM+AM²=x²+AM²，即4-4AM=x²，
解得 AM=1-

1

4

x²．
∴梯形ADNM的面積S=

AM+DN

2

×AD=

AM+AF

2

×2
=AM+AF=AM+AM+MF=2AM+AE
=2（1-

1

4

x²）+x
=-

1

2

x²+x+2
即所求關(guān)系式為S=-

1

2

x²+x+2；

（2）S=-

1

2

x²+x+2=-

1

2

（x²-2x+1）+

5

2

=-

1

2

（x-1）²+

5

2

，
故當(dāng)AE=x=1時(shí)，四邊形ADNM的面積S的值最大，最大值是

5

2

；

（3）由（1）知，△EBA≌△MNF，則MF=AE，AB=FN=2．
由（2）知，AE=1，則MF=1，
故

MF

FN

=

1

2

．即

MF

FN

的值是

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：此題的綜合性比較強(qiáng)，涉及面較廣，涉及到正方形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)及勾股定理的運(yùn)用，在解答此題時(shí)要連接ME，過N點(diǎn)作AB的垂線再求解．