Question

用兩個(gè)全等的等邊△ABD和△BCD拼成如圖的菱形ABCD．現(xiàn)把一個(gè)含60°角的三角板與這個(gè)菱形疊合，使三角板的60°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)D重合，兩邊分別與DA、DB重合．將三角板繞點(diǎn)D逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)．
（1）如圖，當(dāng)三角板的兩邊分別與菱形的兩邊AB、CB相交于點(diǎn)E、F時(shí)，探求BE、BF、AD的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；
（2）繼續(xù)旋轉(zhuǎn)三角板，當(dāng)兩邊DH、DC分別交AB、BC的延長線于點(diǎn)E、F時(shí)，畫出旋轉(zhuǎn)后相應(yīng)的圖形，并直接寫出BE、BF、AD滿足的數(shù)量關(guān)系式．

Answer 1

考點(diǎn)：菱形的性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),等邊三角形的判定與性質(zhì)

專題：

分析：（1）由用兩個(gè)全等的等邊△ABD和△BCD拼成如圖的菱形ABCD．現(xiàn)把一個(gè)含60°角的三角板與這個(gè)菱形疊合，使三角板的60°角的頂點(diǎn)與點(diǎn)D重合，易證得△ADE≌△BDF，繼而證得結(jié)論；
（2）由題意畫出圖形，易證得△BDE≌△CDF，繼而證得結(jié)論．

解答：（1）證明：∵△ABD和△BCD是等邊三角形，
∴AD=BD，∠A=∠ADB=∠DBF=60°，
∵∠EDF=60°，
∴∠ADE+∠BDE=∠BDE+∠BDF=60°，
∴∠ADE=∠BDF，
在△ADE和△BDF中，

∠A=∠DBF AD=BD ∠ADE=∠BDF

，
∴△ADE≌△BDF（ASA），
∴AE=BF，
∴BE+BF=AE+BF=AB=AD；

（2）∵△ABD和△BCD是等邊三角形，
∴BD=CD，∠ABD=∠BDC=∠BCD=60°，
∴∠DBE=∠DCF=120°
∵∠EDF=60°，
∴∠BDE+∠CDE=∠CDE+∠CDF=60°
∴∠BDE=∠CDF，
在△BDE和△CDF中，

∠BDE=∠CDF BD=CD ∠DBE=∠DCF

，
∴△BDE≌△CDF（ASA），
∴BE=CF，
∴BF-BE=BF-CF=BC=AD．

點(diǎn)評：此題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．