Question

13．如圖1，點O是正方形ABCD兩對角線的交點，分別延長OD到點G，OC到點E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以O(shè)G、OE為鄰邊作正方形OEFG，連接AG，DE．
（1）求證：DE⊥AG；
（2）正方形ABCD固定，將正方形OEFG繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如圖2．
①在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)∠OAG′是直角時，求α的度數(shù)；
②若正方形ABCD的邊長為1，在旋轉(zhuǎn)過程中，求AF′長的最大值和此時α的度數(shù)，直接寫出結(jié)果不必說明理由．

Answer 1

分析 （1）延長ED交AG于點H，易證△AOG≌△DOE，得到∠AGO=∠DEO，然后運用等量代換證明∠AHE=90°即可；
（2）①在旋轉(zhuǎn)過程中，∠OAG′成為直角有兩種情況：α由0°增大到90°過程中，當(dāng)∠OAG′=90°時，α=30°，α由90°增大到180°過程中，當(dāng)∠OAG′=90°時，α=150°；
②當(dāng)旋轉(zhuǎn)到A、O、F′在一條直線上時，AF′的長最大，AF′=AO+OF′=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+2，此時α=315°．

解答 解：（1）如圖1，延長ED交AG于點H，
∵點O是正方形ABCD兩對角線的交點，
∴OA=OD，OA⊥OD，
∵OG=OE，
在△AOG和△DOE中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OD}\\{∠AOG=∠DOE=90°}\\{OG=OE}\end{array}\right.$，
∴△AOG≌△DOE，
∴∠AGO=∠DEO，
∵∠AGO+∠GAO=90°，
∴∠GAO+∠DEO=90°，
∴∠AHE=90°，
即DE⊥AG；
（2）①在旋轉(zhuǎn)過程中，∠OAG′成為直角有兩種情況：
（Ⅰ）α由0°增大到90°過程中，當(dāng)∠OAG′=90°時，
∵OA=OD=$\frac{1}{2}$OG=$\frac{1}{2}$OG′，
∴在Rt△OAG′中，sin∠AG′O=$\frac{OA}{OG′}$=$\frac{1}{2}$，
∴∠AG′O=30°，
∵OA⊥OD，OA⊥AG′，
∴OD∥AG′，
∴∠DOG′=∠AG′O=30°，
即α=30°；
（Ⅱ）α由90°增大到180°過程中，當(dāng)∠OAG′=90°時，
同理可求∠BOG′=30°，
∴α=180°-30°=150°．
綜上所述，當(dāng)∠OAG′=90°時，α=30°或150°．
②如圖3，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到A、O、F′在一條直線上時，AF′的長最大，
∵正方形ABCD的邊長為1，
∴OA=OD=OC=OB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵OG=2OD，
∴OG′=OG=$\sqrt{2}$，
∴OF′=2，
∴AF′=AO+OF′=$\frac{\sqrt{2}}{2}$+2，
∵∠COE′=45°，
∴此時α=315°．

點評 本題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)的綜合運用，有一定的綜合性，分類討論當(dāng)∠OAG′是直角時，求α的度數(shù)是本題的難點．