Question

8．如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點D，E為邊AB上一點，ED=CD，以CE為直徑作⊙O，交BC于點F．
（1）求證：AB與⊙O相切；
（2）若DF=1，DC=3，求AE的長．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，由AB=AC，AD⊥BC得到BD=CD，則可判斷OD為△BCE的中位線，所以O(shè)D∥BE，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，由DE=DC，OE=OC得到DO⊥CE，則BE⊥CE，于是根據(jù)切線的性質(zhì)可判斷AB與⊙O相切；
（2）連結(jié)EF，如圖，根據(jù)圓周角定理得∠EFC=90°，在Rt△DEF中利用勾股定理計算出EF=2$\sqrt{2}$，再在Rt△BEF中利用勾股定理計算出BE=2$\sqrt{3}$，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理可求出AE的長．

解答 （1）證明：∵AB=AC，AD⊥BC，
∴BD=CD，
∵OE=OC，
∴OD為△BCE的中位線，
∴OD∥BE，
∵DE=DC，OE=OC，
∴DO⊥CE，
∴BE⊥CE，
∴AB與⊙O相切；
（2）連結(jié)EF，如圖，
∵CE為⊙O的直徑，
∴∠EFC=90°，
在Rt△DEF中，∵DE=DC=3，DF=1，
∴EF=$\sqrt{{3}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∵DB=DC=3，
∴BF=BD-DF=3-1=2，
在Rt△BEF中，∵EF=2$\sqrt{2}$，BF=2，
∴BE=$\sqrt{（2\sqrt{2}）^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∵EF∥AD，
∴$\frac{BE}{AE}$=$\frac{BF}{FD}$，即$\frac{2\sqrt{3}}{AE}$=$\frac{2}{1}$，
∴AE=$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．也考查了勾股定理和平行線分線段成比例定理．