Question

7．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，CM是∠BCD的平分線，且CM⊥AB，M為垂足，AM=$\frac{1}{3}$AB．若四邊形ABCD的面積為$\frac{15}{7}$，則四邊形AMCD的面積是1．

Answer 1

分析 延長BA、CD，交點為E．依據(jù)題意可知MB=ME．然后證明△EAD∽△EBC．依據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求得△EAD和△EBC的面積，最后依據(jù)S_{四邊形AMCD}=$\frac{1}{2}$S_△EBC-S_△EAD求解即可．

解答 解：如圖所示：延長BA、CD，交點為E．

∵CM平分∠BCD，CM⊥AB，
∴MB=ME．
又∵AM=$\frac{1}{3}$AB，
∴AE=$\frac{1}{3}$AB．
∴AE=$\frac{1}{4}$BE．
∵AD∥BC，
∴△EAD∽△EBC．
∴$\frac{{S}_{△EAD}}{{S}_{△EBC}}$=$\frac{1}{16}$．
∴S_{四邊形ADBC}=$\frac{15}{16}$S_△EBC=$\frac{15}{7}$．
∴S_△EBC=$\frac{16}{7}$．
∴S_△EAD=$\frac{16}{7}$×$\frac{1}{16}$=$\frac{1}{7}$．
∴S_{四邊形AMCD}=$\frac{1}{2}$S_△EBC-S_△EAD=$\frac{8}{7}$-$\frac{1}{7}$=1．
故答案為：1．

點評 本題主要考查的是相似三角形的性質(zhì)和判定，掌握本題的輔助線的作法是解題的關鍵．