Question

13．如圖，在半徑為6 cm的⊙O中，點A是劣弧$\widehat{BC}$的中點，點D是優(yōu)弧$\widehat{BDC}$上一點，且∠D=30°，下列四個結論：①OA⊥BC；②BC=3$\sqrt{3}{cm}$；③∠AOB=60°；④四邊形ABOC是菱形，其中正確結論的序號是①③④．

Answer 1

分析 利用垂徑定理可對①進行判斷；根據(jù)圓周角定理得到∠AOC=2∠D=60°，則△OAC為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和垂徑定理可計算出BC=6$\sqrt{3}$，則可對②進行判斷；通過判斷△AOB為等邊三角形可對③進行判斷；利用AB=AC=OA=OC=OB可對④進行判斷．

解答 解：∵點A是劣弧$\widehat{BC}$的中點，
∴OA⊥BC，所以①正確；
∵∠AOC=2∠D=60°，
而OA=OC，
∴△OAC為等邊三角形，
∴BC=2×6×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=6$\sqrt{3}$，所以②錯誤；
同理可得△AOB為等邊三角形，
∴∠AOB=60°，所以③正確；
∵AB=AC=OA=OC=OB，
∴四邊形ABOC是菱形，所以④正確．
故答案為①③④．

點評 本題考查了圓心角、弧、弦的關系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等．同一條弦對應兩條弧，其中一條是優(yōu)弧，一條是劣弧，而在本定理和推論中的“弧”是指同為優(yōu)弧或劣�。�