Question

7．如圖邊長為1的正方形ABCD被兩條與邊平行的線段EF、GH分割為四個(gè)小矩形，EF與GH交于點(diǎn)P
（1）若AG=AE，證明：AF=AH；
（2）若矩形PFCH的面積，恰矩形AGPE面積的兩倍，試確定∠HAF的大�。�
（3）若矩形EPHD的面積為$\frac{1}{2}$，求Rt△GBF的周長．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，連接AF、AH，由題意知四邊形AGHD與四邊形AEFB均為矩形，只要證明△ABF≌△ADH即可．
（2）結(jié)論：∠HAF=45°．設(shè)AG=a，BG=b，AE=x，ED=y．由$\left\{\begin{array}{l}{a+b=x+y}\\{2ax=by}\end{array}\right.$，推出（a+x）²=y²+b²，由y²+b²=FH²，推出a+x=FH，由AG=DH=a，AE=BF=x，推出DH+BF=FH，延長FB到M，使得BM=DH，連接AM，只要證明△ADH≌△ABM即可解決問題．
（3）如圖3中，連接GF，設(shè)BG=x，BF=y，則FG=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，由（x-1）（y-1）=$\frac{1}{2}$，推出xy-x-y+1=$\frac{1}{2}$，推出xy-x-y=-$\frac{1}{2}$推出x²+y²=x²+y²+1+2xy-2x-2y，推出$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=1-x-y，得x+y+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=1，延長即可解決問題．

解答 解：（1）證明：如圖1中，連接AF、AH，由題意知四邊形AGHD與四邊形AEFB均為矩形，

∴AG=DH，AE=BF，
∵AG=AE，
∴DH=BF，
∵四邊形ABCD為正方形，
∴AB=AD，∠B=∠D=90°，
在Rt△ADH與Rt△ABF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=AD}\\{∠B=∠D}\\{BF=DH}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△ADH，
∴AF=AH；

（2）結(jié)論：∠HAF=45°．
理由：設(shè)AG=a，BG=b，AE=x，ED=y．

則$\left\{\begin{array}{l}{a+b=x+y}\\{2ax=by}\end{array}\right.$，
∴a-x=y-b，兩邊平方得a²-2ax+x²=y²-2yb+b²，
∴得a²-2ax+x²=y²-4ax+b²，
∴（a+x）²=y²+b²，
∵y²+b²=FH²，
∴a+x=FH，
∵AG=DH=a，AE=BF=x，
∴DH+BF=FH，
延長FB到M，使得BM=DH，連接AM，
∵AD=AB，∠D=∠ABM，DH=BM，
∴△ADH≌△ABM，
∴AH=AM，∠DAH=∠BAM，
∴∠MAH=∠BAD=90°，
∵AF=AF，AM=AH，F(xiàn)M=FH，
∴△AFM≌△AFH，
∴∠FAH=∠FAM=45°

（3）如圖3中，連接GF，設(shè)BG=x，BF=y，則FG=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，

∴（x-1）（y-1）=$\frac{1}{2}$，∴xy-x-y+1=$\frac{1}{2}$，∴xy-x-y=-$\frac{1}{2}$
∴x²+y²=x²+y²+1+2xy-2x-2y，
∴$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=1-x-y，
 得x+y+$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=1，
∴Rt△GBF的周長=1．

點(diǎn)評 此題主要考查了正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學(xué)會可以參數(shù)解決問題，屬于中考壓軸題．