Question

12．在Rt△AOB中，OA=3，sinB=$\frac{3}{5}$，P、M、分別是BA、BO邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，沿BO以1單位/秒的速度向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA以a單位/秒的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；P、M兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，任意一點(diǎn)先到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t．
（1）線段AP的長(zhǎng)度為5-at（用含a、t的代數(shù)式表示）；
（2）如圖①，連結(jié)PO、PM，若a=1，△PMO的面積為S，試求S的最大值；
（3）如圖②，連結(jié)PM、AM，試探究：在點(diǎn)P、M運(yùn)動(dòng)的過程中，是否存在某個(gè)時(shí)刻，使得△PMB為直角三角形且△PMA是等腰三角形？若存在，求出此時(shí)a和t的取值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)三角函數(shù)得出AB的長(zhǎng)度解答即可；
（2）過點(diǎn)P作PD⊥OB，根據(jù)三角形的面積公式和二次函數(shù)的最值解答即可；
（3）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行解答即可．

解答 解：（1）∵Rt△AOB中，OA=3，sinB=$\frac{3}{5}$，
∴AB=5，
∵設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BA以a單位/秒的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，
∴AP=5-at，
故答案為：5-at；
（2）如圖①：
過點(diǎn)P作PD⊥OB，在Rt△PDB中，PB=t，sinB=$\frac{3}{5}$，
∴PD=$\frac{3}{5}t$，OM=4-t，
∴$S=\frac{1}{2}（4-t）•\frac{3}{5}t=-\frac{3}{10}（t-2）^{2}+\frac{6}{5}$，
∵0≤t≤4，
∴當(dāng)t=2時(shí)，${S}_{最大值}=\frac{6}{5}$；
（3）假設(shè)存在，
①若∠PMB=90°，如圖②：
∵PA=PM，
在Rt△PMB中，PB=at，sinB=$\frac{3}{5}$，
∴PM=$\frac{3}{5}$at，MB=$\frac{4}{5}$at，
根據(jù)題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{5-at=\frac{3}{5}at}\\{\frac{4}{5}at=t}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{5}{4}}\\{t=\frac{5}{2}}\end{array}\right.$，符合題意；
②若∠MPB=90°，如圖③，則∠APM=90°，

∴PA=PM，
在Rt△PMB中，PB=at，sinB=$\frac{3}{5}$，
∴$PM=\frac{3}{4}at，MB=\frac{5}{4}at$，
根據(jù)題意可得：$\left\{\begin{array}{l}{5-at=\frac{3}{4}at}\\{\frac{5}{4}at=t}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{4}{5}}\\{t=\frac{25}{7}}\end{array}\right.$，符合題意，
∴存在某時(shí)刻，使得△PMB為直角三角形且△PMA是等腰三角形，此時(shí)$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=\frac{5}{4}}\\{{t}_{1}=\frac{5}{2}}\end{array}\right.或\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}=\frac{4}{5}}\\{{t}_{2}=\frac{25}{7}}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了三角形綜合題，關(guān)鍵是根據(jù)三角函數(shù)得出AB的長(zhǎng)度，同時(shí)根據(jù)直角三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)解答．