Question

13．如圖，一次函數(shù)y=x+m的圖象與反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$的圖象交于A，B兩點(diǎn)，且與x軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，1）．（1）求m及k的值；
（2）求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并結(jié)合圖象寫出不等式組0＜x+m≤$\frac{k}{x}$的解集．
（3）若A點(diǎn)關(guān)于直線y=x的對(duì)稱點(diǎn)為A′，求△A′BC的面積．

Answer 1

分析 （1）把A的坐標(biāo)代入兩函數(shù)解析式，即可得出答案；
（2）求出一次函數(shù)的解析式，即可求出C的坐標(biāo)，根據(jù)A、C的坐標(biāo)，結(jié)合圖象得出答案即可；
（3）根據(jù)對(duì)稱和A的坐標(biāo)求出A′的坐標(biāo)，求出BW和A′C的值，根據(jù)面積公式得出即可．

解答 解：（1）把A的坐標(biāo)代入y=x+m得：1=2+m，
解得：m=-1，
把A的坐標(biāo)代入y=$\frac{k}{x}$得：1=$\frac{k}{2}$，
解得：k=2，
即m=-1，k=2；

（2）由（1）知：一次函數(shù)的解析式為y=x-1，反比例函數(shù)的解析式為y=$\frac{2}{x}$，
在y=x-1中，當(dāng)y=0時(shí)，x=1，
即C的坐標(biāo)為（1，0），
∵A（2，1），
∴不等式組0＜x+m≤$\frac{k}{x}$的解集是1＜x≤2；

（3）解方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{2}{x}}\\{y=x-1}\end{array}\right.$得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=2}\\{{y}_{1}=1}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=-1}\\{{y}_{2}=-2}\end{array}\right.$，
∵A（2，1）
∴B的坐標(biāo)為（-1，-2），

過A作AR⊥x軸于R，過A′作A′Q⊥y軸于Q，則∠A′QO=∠ARO=90°，
過B作BW⊥A′C于W，連接AA′，OA′，OA，
∵A、A′關(guān)于y=x對(duì)稱，
∴OA′=OA，直線y=x垂直平分AA′，
∴∠A′OE=∠AOE，
∵直線y=x，
∴∠QOE=∠ROE，
∴∠QOA′=∠ROA，
在△A′QO和△ARO中
$\left\{\begin{array}{l}{∠A′QO=∠ARO}\\{∠QOA′=∠ROA}\\{OA′=OA}\end{array}\right.$
∴△A′QO≌△ARO（AAS），
∴△A′QO≌△ARO（AAS），
∴OQ=OR，A′Q=AR，
∵A（2，1），
∴A′Q=1，OQ=2，
∴A′的坐標(biāo)為（1，2），
∵C（1，0），
∴A′C⊥x軸，
∵B（-1，-2），A′（1，2），
∴A′C=2，BW=1+1=2，
∴△A′BC的面積是$\frac{1}{2}×2×2$=2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，一次函數(shù)和反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，軸對(duì)稱的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能夠求出函數(shù)的解析式和A′的坐標(biāo)是解此題的關(guān)鍵，注意數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．