Question

8．在菱形ABCD中，AB=BD．點(diǎn)E、F分別在AB、AD上，且AE=DF．連接BF與DE相交于點(diǎn)G，連接CG與BD相交于點(diǎn)H．下列結(jié)論：
①△AED≌△DFB；②S_{四邊形BCDG}=$\frac{{\sqrt{3}}}{4}$CG²；③CG=DG+BG．④∠DGB=120°
其中正確的結(jié)論有（　　）

• A． 1
• B． 4
• C． 3
• D． 2

Answer 1

分析 ①正確．根據(jù)SAS即可證明．
②正確．由△CDG≌△CBM可得S_△CDG=S_△CBM，∠DCG=∠BCM，CG=CM，推出∠GCM=∠DCB=60°推出△CGM為等邊三角形，即可推出S四邊形BCDG=S_△CGM=$\frac{\sqrt{3}}{4}$CG²．
③正確．延長(zhǎng)FB到點(diǎn)M，使BM=DG，連接CM．只要證明△CDG≌△CBM即可解決問(wèn)題．
④正確．由△AED≌△DFB（SAS），推出∠ADE=∠DBF，由∠DGB=∠DEB+∠EBG，∠DEB=∠A+∠ADE，推出∠DGB=∠A+∠ADE+∠EBG=∠A+∠ABD=120°即可解決問(wèn)題．

解答 證明：∵ABCD為菱形，
∴AB=AD．
∵AB=BD，
∴△ABD為等邊三角形．
∴∠A=∠BDF=60°．
在△AED和△DFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BD}\\{∠A=∠BDF}\\{AE=DF}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△DFB（SAS），故①正確，
∴∠ADE=∠DBF，
∵∠DGB=∠DEB+∠EBG，∠DEB=∠A+∠ADE，
∴∠DGB=∠A+∠ADE+∠EBG=∠A+∠ABD=120°，故④正確，
延長(zhǎng)FB到點(diǎn)M，使BM=DG，連接CM．
∵△AED≌△DFB，
∴∠ADE=∠DBF，
∵∠CDG=∠ADC-∠ADE=120°-∠ADE，∠CBM=120°-∠DBF．
∴∠CBM=∠CDG，
∵△DBC是等邊三角形，
∴CD=CB，
在△CDG和△CBM中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{CD=CB}\\{∠CDG=∠CBM}\\{DG=BM}\end{array}\right.$，
∴△CDG≌△CBM（SAS），
∴∠DCG=∠BCM，CG=CM，
∴∠GCM=∠DCB=60°，
∴△CGM是等邊三角形，
∴CG=GM=BG+BM=BG+DG．故③正確．
∵△CDG≌△CBM
∴S_△CDG=S_△CBM，∠DCG=∠BCM，CG=CM，
∴∠GCM=∠DCB=60°
∴△CGM為等邊三角形，
∴S四邊形BCDG=S_△CGM=$\frac{\sqrt{3}}{4}$CG²．故②正確．
故選B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，以及菱形的性質(zhì)．本題充分利用了等邊三角形的三條邊相等和三個(gè)內(nèi)角都是60°的性質(zhì)．