Question

6．如圖，直線l的表達(dá)式為y=kx+3（k＞0），與y軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)C在x軸的負(fù)半軸上，過點(diǎn)C作BC⊥AC交直線l于點(diǎn)B，且BC=CA，已知AC=$\sqrt{10}$，求k的值．

Answer 1

分析 作BD⊥x軸于D，根據(jù)題意求出OC的長，根據(jù)全等三角形的判定定理證明△BCD≌△CAO，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，運(yùn)用待定系數(shù)法解得即可．

解答 解：作BD⊥x軸于D，
∵當(dāng)x=0時(shí)，y=3，
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，3），即OA=3，
∵AC=$\sqrt{10}$，OA=3，
∴OC=$\sqrt{A{C}^{2}-O{A}^{2}}$=1，
∵BC⊥AC，
∴∠BCD+∠ACO=90°，又∠CAO+∠ACO=90°，
∴∠BCD=∠CAO，
在△BCD和△CAO中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BCD=∠CAO}\\{∠BDC=∠COA}\\{BC=CA}\end{array}\right.$，
∴△BCD≌△CAO，
∴BD=C0=1，CD=OA=3，
則OD=4，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-4，1），
則-4k+3=1，
解得k=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查的是一次函數(shù)知識的綜合運(yùn)用，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．