Question

如圖，等邊△ABC邊長(zhǎng)為a，D是BC邊上一點(diǎn)，且BD：DC=2：3，把△ABC折疊，使A落在BC邊上的D處．
（1）設(shè)折痕為MN，求

AM

AN

．
（2）如果

BD

DC

=

m

n

，求

AM

AN

．

Answer 1

考點(diǎn)：翻折變換（折疊問(wèn)題）,相似三角形的判定與性質(zhì)

專(zhuān)題：

分析：（1）設(shè)出未知數(shù)，運(yùn)用余弦定理列出關(guān)于線段AM的方程，求出AM的長(zhǎng)度；同理求出線段AN的長(zhǎng)度，即可解決問(wèn)題．（2）類(lèi)比（1）中的解法，同理可求出AM、AN的長(zhǎng)度，即可解決問(wèn)題．

解答：解：（1）由題意得：
AM=DM（設(shè)為λ），AN=DN（設(shè)為μ），
則BM=a-λ，CN=a-μ；
∵BD：DC=2：3，
∴BD=

2

5

a，DC=

3

5

a；
∵△ABC為等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°；
在△BDM中，由余弦定理得：
λ2=(a-λ)2+(

2

5

a)2-2×

2

5

a(a-λ)cos60°，
化簡(jiǎn)整理得：λ=

19

40

a；
在△DCN中，同理可求：μ=

19a

35

∴

λ

μ

=

7

8

即

AM

AN

=

7

8

（2）
∵

BD

DC

=

m

n

，BC=a，
∴BD=

ma

m+n

，DC=

na

m+n

；
設(shè)AM=DM=λ，AN=DN=μ，
則BM=a-λ，CN=a-μ；
類(lèi)比（1）中的方法，根據(jù)余弦定理列出方程，
可求得：λ=

a(m2+mn+n2)

(m+2n)(m+n)

，μ=

a(m2+mn+n2)

(2m+n)(m+n)

，
∴

λ

μ

=

2m+n

m+2n

，
即

AM

AN

=

2m+n

m+2n

．

點(diǎn)評(píng)：該題以等邊三角形形為載體，以翻折變換為方法，以考查翻折變換的性質(zhì)、余弦定理及其應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)為核心構(gòu)造而成；解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用有關(guān)定理來(lái)分析、解答；對(duì)求解運(yùn)算能力提出了較高的要求．