Question

13．如圖，二次函數(shù)y=ax²+bx+c圖象的頂點坐標為（2，3），與x軸交于點A（-1，0）．
（1）求二次函數(shù)的解析式；
（2）連結(jié)BC、OC，在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使得以P、B、C為頂點的三角形與△OBC相似？若存在點P，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；
（2）求得B（5，0），如圖，設(shè)對稱軸與x軸交點為D，則CD=BD=3，得到∠DCB=∠DBC=45°求得BC=3$\sqrt{2}$設(shè)P（2，t），①當(dāng)△PCB∽△OBC時，則$\frac{PC}{OB}=\frac{CB}{BC}$=1，求得t=-2得到P（2，-2）；②當(dāng)△BCP∽△OBC時，列比例式求得t=-$\frac{3}{5}$，即可得到P（2，-$\frac{3}{5}$）．

解答 解：（1）∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c圖象的頂點坐標為（2，3），
∴設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y=a（x-2）²+3，將（-1，0）點代入得：a=-$\frac{1}{3}$，
故二次函數(shù)的解析式為：y=-$\frac{1}{3}$（x-2）²+3
∴y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x$+\frac{5}{3}$；

（2）存在，
在y=-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x$+\frac{5}{3}$中，令y=0，則-$\frac{1}{3}$x²+$\frac{4}{3}$x$+\frac{5}{3}$=0，解得：x₁=-1，x₂=5，
∴B（5，0），
∵拋物線的對稱軸方程為：x=2，
如圖，設(shè)對稱軸與x軸交點為D，則CD=BD=3，
∴∠DCB=∠DBC=45°
∴BC=3$\sqrt{2}$
設(shè)P（2，t），
①當(dāng)△PCB∽△OBC時，則$\frac{PC}{OB}=\frac{CB}{BC}$=1，
∴PC=OB，即3-t=5，
∴t=-2，∴P（2，-2）；
②當(dāng)△BCP∽△OBC時，則$\frac{BC}{OB}=\frac{CP}{BC}$，即$\frac{3\sqrt{2}}{5}=\frac{3-t}{3\sqrt{2}}$，
∴t=-$\frac{3}{5}$，
∴P（2，-$\frac{3}{5}$），
綜上所述：存在點P，使得以P、B、C為頂點的三角形與△OBC相似，點P的坐標為（2，-2），（2，-$\frac{3}{5}$）．

點評 本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，相似三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，找準三角形相似是解題的關(guān)鍵．