Question

7．如圖，某人由西向東行走到點(diǎn)A，測(cè)得一個(gè)圓形花壇的圓心O在北偏東60°，他繼續(xù)向東走了60米后到達(dá)點(diǎn)B，這時(shí)測(cè)得圓形花壇的圓心O在北偏東45°，已知圓形花壇的半徑為51米，若沿AB的方向修一條筆直的小路（忽略小路的寬度），則此小路會(huì)通過圓形花壇嗎？請(qǐng)說明理由．（參考數(shù)據(jù)$\sqrt{3}$≈1.73，$\sqrt{2}$≈1.41）

Answer 1

分析 過點(diǎn)O作OD⊥AB于D，在Rt△OBD和Rt△OAD中，根據(jù)三角函數(shù)AD，BD就可以O(shè)D表示出來，根據(jù)AB=60米，就得到一個(gè)關(guān)于OD的方程，求得OD．從而可以判斷此小路是否會(huì)通過圓形花壇．

解答 解：此小路會(huì)通過圓形花壇．
理由：過點(diǎn)O作OD⊥AC，交AB延長(zhǎng)線于D．
設(shè)OD為x米，在Rt△OBD中，
∠OBD=90°-45°=45°．
∴BD=OD=x米．
在Rt△OAD中，
∵∠OAD=90°-60°=30°
∴AD=$\frac{x}{tan30°}$=$\sqrt{3}$x，
∵AD=AB+BD，
∴$\sqrt{3}$x=60+x，
∴x=$\frac{60}{\sqrt{3}-1}$=30（$\sqrt{3}$+1）＞51，
∴此小路會(huì)通過圓形花壇．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查解直角三角形在實(shí)際問題中的應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形是解題的前提和關(guān)鍵．