Question

如圖1，AB是半⊙O的直徑，過A、B兩點(diǎn)作半⊙O的弦，當(dāng)兩弦交點(diǎn)恰好落在半⊙O上C點(diǎn)時(shí)，則有AC•AC+BC•BC=AB²

（1）如圖2，若兩弦交于點(diǎn)P在半⊙O內(nèi)，則AP•AC+BP•BD=AB²是否成立？請(qǐng)說明理由；
（2）如圖3，若兩弦AC、BD的延長線交于P點(diǎn)，則AB²=

 

．參照（1）填寫相應(yīng)的，并證明你填寫結(jié)論的正確性．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：綜合題

分析：（1）連結(jié)AD、BC，作PE⊥AB于E，如圖2，根據(jù)圓周角定理由AB為直徑得到∠D=∠C=90°，再由OE⊥AB得到∠PEA=∠PEB=90°，則可判斷點(diǎn)A、E、P、D四點(diǎn)共圓；點(diǎn)B、E、P、C四點(diǎn)共圓，根據(jù)切割線定理得到BE•BA=BP•BD，AE•AB=AP•AC，把兩式相加得AP•AC+BP•BD=AE•AB+BE•BA=AB（AE+BE）=AB²；
（2）BC與AD相交于E，如圖3，根據(jù)圓周角定理得∠ADB=∠ACB=90°，則點(diǎn)C、E、D、P四點(diǎn)共圓，根據(jù)切割線定理得到BE•BC=BP•BD，AE•AD=AP•AC，則AP•AC+BP•BD=AE•AD+BE•BC，然后利用（1）的結(jié)論即可得到AB²=AP•AC+BP•BD．

解答：解：（1）成立．理由如下：
連結(jié)AD、BC，作PE⊥AB于E，如圖2，
∵AB為直徑，
∴∠D=∠C=90°，
∵OE⊥AB，
∴∠PEA=∠PEB=90°，
∴點(diǎn)D、E在以AP為直徑的圓上，即點(diǎn)A、E、P、D四點(diǎn)共圓；點(diǎn)C、E在以BP為直徑的圓上，即點(diǎn)B、E、P、C四點(diǎn)共圓，
∴BE•BA=BP•BD，AE•AB=AP•AC，
∴AP•AC+BP•BD=AE•AB+BE•BA=AB（AE+BE）=AB•AB=AB²；
（2）AB²=AP•AC+BP•BD．理由如下：
BC與AD相交于E，如圖3，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=∠ACB=90°，
∴點(diǎn)C、E、D、P四點(diǎn)共圓，
∴BE•BC=BP•BD，AE•AD=AP•AC，
∴AP•AC+BP•BD=AE•AD+BE•BC，
由（1）的結(jié)論得AE•AD+BE•BC=AB²，
∴AB²=AP•AC+BP•BD．
故答案為AP•AC+BP•BD．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握?qǐng)A周角定理、四點(diǎn)共圓的判定方法和切割線定理；學(xué)會(huì)由特殊到一般的解決問題的思想方法．