Question

17．（1）如圖①，在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D是BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且DE⊥DF，求證：DE=DF．
（2）如圖②，△ABC是邊長為4的等邊三角形，D是BC的中點(diǎn)，E、F分別是AB、AC邊上的點(diǎn)，且∠EDF=120°，求證：DE=DF．
（3）在（2）的條件下，BE+CF=2（直接寫結(jié)果）

Answer 1

分析 （1）連接AD，根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)和直角三角形斜邊上中線性質(zhì)求出∠B=∠C=∠BAD=∠DAC=45°，AD=BD，求出∠BDE=∠ADF，根據(jù)ASA證△BDE≌△ADF即可；
（2）如圖②，連接AD，過D作DM⊥AB交AB于M，再作DN⊥AC交AC于N．根據(jù)ASA證明△MDE≌△NDF，再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得DE=DF；
（3）利用（2）中全等三角形的性質(zhì)和含30度直角三角形的性質(zhì)得到BE+CF=$\frac{1}{2}$BC．

解答 （1）證明：如圖①，連接AD．
∵等腰直角三角形ABC，
∴∠C=∠B=45°，
∵D為BC的中點(diǎn)，
∴AD⊥BC，AD=BD=DC，AD平分∠BAC，
∴∠DAC=∠BAD=45°=∠B，∠ADC=90°，
∵DE⊥DF，
∴∠EDF=90°，
∴∠ADF+∠FDC=90°，∠FDC+∠BDE=90°，
∴∠BDE=∠ADF，
在△BDE和△ADF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠DAF}\\{BD=AD}\\{∠BDE=∠ADF}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△ADF，
∴DE=DF．

（2）證明：如圖②，連接AD，過D作DM⊥AB交AB于M，再作DN⊥AC交AC于N．
∵△ABC是等邊三角形，D為BC的中點(diǎn)，
∴AD是∠BAC的平分線，∠BAC=∠B=∠C=60°
∴DM=DN，∠MDN=120°
又∵∠EDF=120°，
∴∠MDN=∠EDF，
∴∠MDE=∠NDF．
∴在△MDE與△NDF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠MDE=∠NDF}\\{DM=DN}\\{∠DME=∠DNF=90°}\end{array}\right.$，
∴△MDE≌△NDF（ASA）
∴DE=DF．

（3）解：如圖②，∵由（2）知，△MDE≌△NDF，則ME=NF．
∴BE+CF=BM+EM+CF=BM+NF+CF=BM+CN．
∵在直角△BMD中，∠BDM=30°，
∴BM=$\frac{1}{2}$BD．
同理在直角△DNC中，CN=$\frac{1}{2}$CD．
∴BM+CN=$\frac{1}{2}$（BD+CD）=$\frac{1}{2}$BC．
∵△ABC是邊長為4的等邊三角形，
∴BC=4，
∴BM+CN=2，即BE+CF=2．
故答案是：2．

點(diǎn)評 本題考查了三角形綜合題．需要掌握等腰直角三角形性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)等知識點(diǎn)的應(yīng)用，關(guān)鍵是①小題構(gòu)造三角形ADF，證△BDE和△ADF全等，目比較典型，但有點(diǎn)難度．