Question

8．一列數(shù)：a₁，a₂，a₃，…a_n，…，其中a₁=$\frac{4}{3}$，a₂=$\frac{13}{9}$，且當(dāng)n≥3時(shí)，a_n-a_n-1=$\frac{1}{3}$（a_n-1-a_n-2），用含n的式子表示a_n的結(jié)果是$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2×{3}^{n}}$．

Answer 1

分析 根據(jù)a_n-a_n-1=$\frac{1}{3}$（a_n-1-a_n-2），依次寫出相鄰兩項(xiàng)之差，再左右兩邊同時(shí)累加得出a_n-a₁=$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$，令$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$=A，A-$\frac{1}{3}$A得出A的值，將其代入a_n-a₁中，表示出a_n即可．

解答 解：∵a_n-a_n-1=$\frac{1}{3}$（a_n-1-a_n-2），
∴有a_n-a_n-1=$\frac{1}{3}（{a}_{n-1}-{a}_{n-2}）$=（$\frac{1}{3}$）^n-2（a₂-a₁），a_n-1-a_n-2=$\frac{1}{3}（{a}_{n-2}-{a}_{n-3}）$=（$\frac{1}{3}$）^n-3（a₂-a₁），…，a₃-a₂=$\frac{1}{3}（{a}_{2}-{a}_{1}）$，a₂-a₁=$\frac{1}{9}$=$（\frac{1}{3}）^{2}$，
左右兩邊同時(shí)累加得a_n-a₁=$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$，
令$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$=A，則$\frac{1}{3}$A=$\frac{1}{{3}^{3}}$+$\frac{1}{{3}^{4}}$…+$\frac{1}{{3}^{n+1}}$，
A-$\frac{1}{3}$A=$\frac{1}{{3}^{2}}$-$\frac{1}{{3}^{n+1}}$，解得：A=$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{2×{3}^{n}}$．
∴a_n=A+a₁=$\frac{1}{6}$-$\frac{1}{2×{3}^{n}}$+$\frac{4}{3}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2×{3}^{n}}$．
故答案為：$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2×{3}^{n}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了規(guī)律型中得數(shù)字的變化類，解題的關(guān)鍵是找出a_n-a₁=$\frac{1}{{3}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{3}}$+…+$\frac{1}{{3}^{n}}$．本題屬于中檔題，難度不大，因?yàn)槌踔袥]有學(xué)過等比數(shù)列的求和公式，故此處用錯(cuò)位相減法來推導(dǎo)出結(jié)論．