Question

15．如圖，直線AB經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)C，直線AO與⊙O交于點(diǎn)E和點(diǎn)D，OB與⊙O交于點(diǎn)F，連接DF、DC．已知OA=OB，CA=CB，DE=10，DF=6．
（1）求證：①直線AB是⊙O的切線；②∠FDC=∠EDC；
（2）求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）①欲證明直線AB是⊙O的切線，只要證明OC⊥AB即可．
②首先證明OC∥DF，再證明∠FDC=∠OCD，∠EDC=∠OCD即可．
（2）作ON⊥DF于N，延長(zhǎng)DF交AB于M，在RT△CDM中，求出DM、CM即可解決問題．

解答 （1）①證明：連接OC．
∵OA=OB，AC=CB，
∴OC⊥AB，
∵點(diǎn)C在⊙O上，
∴AB是⊙O切線．
②證明：∵OA=OB，AC=CB，
∴∠AOC=∠BOC，
∵OD=OF，
∴∠ODF=∠OFD，
∵∠AOB=∠ODF+∠OFD=∠AOC+∠BOC，
∴∠BOC=∠OFD，
∴OC∥DF，
∴∠CDF=∠OCD，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD，
∴∠ADC=∠CDF．
（2）作ON⊥DF于N，延長(zhǎng)DF交AB于M．
∵ON⊥DF，
∴DN=NF=3，
在RT△ODN中，∵∠OND=90°，OD=5，DN=3，
∴ON=$\sqrt{O{D}^{2}-D{N}^{2}}$=4，
∵∠OCM+∠CMN=180°，∠OCM=90°，
∴∠OCM=∠CMN=∠MNO=90°，
∴四邊形OCMN是矩形，
∴ON=CM=4，MN=OC=5，
在RT△CDM中，∵∠DMC=90°，CM=4，DM=DN+MN=8，
∴CD=$\sqrt{D{M}^{2}+C{M}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)、垂徑定理、平行線的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考�？碱}型．