Question

20．如圖，將邊長為10的正三角形OAB放置于平面直角坐標(biāo)系xOy中，C是AB邊上的動點（不與端點A，B重合），作CD⊥OB于點D，若點C，D都在雙曲線y=$\frac{k}{x}$上（k＞0，x＞0），則k的值為（　�。�

• A． 25$\sqrt{3}$
• B． 18$\sqrt{3}$
• C． 9$\sqrt{3}$
• D． 9

Answer 1

分析 過點A作AE⊥OB于點E，根據(jù)正三角形的性質(zhì)以及三角形的邊長可找出點A、B、E的坐標(biāo)，再由CD⊥OB，AE⊥OB可找出CD∥AE，即得出$\frac{BD}{BE}=\frac{BC}{BA}$，令該比例$\frac{BD}{BE}=\frac{BC}{BA}$=n，根據(jù)比例關(guān)系找出點D、C的坐標(biāo)，利用反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征即可得出關(guān)于k、n的二元一次方程組，解方程組即可得出結(jié)論．

解答 解：過點A作AE⊥OB于點E，如圖所示．

∵△OAB為邊長為10的正三角形，
∴點A的坐標(biāo)為（10，0）、點B的坐標(biāo)為（5，5$\sqrt{3}$），點E的坐標(biāo)為（$\frac{5}{2}$，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$）．
∵CD⊥OB，AE⊥OB，
∴CD∥AE，
∴$\frac{BD}{BE}=\frac{BC}{BA}$．
設(shè)$\frac{BD}{BE}=\frac{BC}{BA}$=n（0＜n＜1），
∴點D的坐標(biāo)為（$\frac{10-5n}{2}$，$\frac{10\sqrt{3}-5\sqrt{3}n}{2}$），點C的坐標(biāo)為（5+5n，5$\sqrt{3}$-5$\sqrt{3}$n）．
∵點C、D均在反比例函數(shù)y=$\frac{k}{x}$圖象上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{10-5n}{2}×\frac{10\sqrt{3}-5\sqrt{3}n}{2}}\\{k=（5+5n）×（5\sqrt{3}-5\sqrt{3}n）}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{n=\frac{4}{5}}\\{k=9\sqrt{3}}\end{array}\right.$．
故選C．

方法2：
過C點作CE∥OA交OB于E，過E點作EF⊥OA于F，過D點作DG⊥EC于G，
設(shè)OF=a，則EC=10-2a，
∴C（10-a，$\sqrt{3}$a），DC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$EC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（10-2a）=$\sqrt{3}$（5-a），
∴DG=$\frac{1}{2}$DC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（5-a），EG=$\frac{DG}{\sqrt{3}}$=$\frac{1}{2}$（5-a），
∴D（$\frac{5}{2}$+$\frac{1}{2}$a，$\frac{5\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$a），
∵C，D都在雙曲線上，
∴（$\frac{5}{2}$+$\frac{1}{2}$a）（$\frac{5\sqrt{3}}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$a）=（10-a）×$\sqrt{3}$a
解得a=1或5，當(dāng)a=5時，C點和E點重合，舍去．
∴k=（10-a）×$\sqrt{3}$a=9$\sqrt{3}$．

方法3：
過點D作DE⊥x軸于點E，過C作CF⊥x軸于點F，如圖所示．
設(shè)OE=a，則OD=2a，DE=$\sqrt{3}$a，
∴BD=OB-OD=10-2a，BC=2BD=20-4a，AC=AB-BC=4a-10，
∴AF=$\frac{1}{2}$AC=2a-5，CF=$\sqrt{3}$AF=$\sqrt{3}$（2a-5），OF=OA-AF=15-2a，
∴點D（a，$\sqrt{3}$a），點C（15-2a，$\sqrt{3}$（2a-5））．
∵點C、D都在雙曲線y=$\frac{k}{x}$上（k＞0，x＞0），
∴a•$\sqrt{3}$a=（15-2a）×$\sqrt{3}$（2a-5），
解得：a=3或a=5．
當(dāng)a=5時，DO=OB，AC=AB，點C、D與點B重合，不符合題意，
∴a=5舍去．
∴點D（3，3$\sqrt{3}$），
∴k=3×3$\sqrt{3}$=9$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、平行線的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出點D、C的坐標(biāo)．本題屬于中檔題，稍顯繁瑣，解決該題型題目時，巧妙的借助了比例來表示點的坐標(biāo)，根據(jù)反比例函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征找出方程組是關(guān)鍵．