Question

17．如圖，平面上有一邊長為2的正方形ABCD，O為對角線的交點，正方形OEFG的頂點與O重合，OE、OG分別與正方形ABCD的邊交于M、N兩點．
①如圖（1），當(dāng)OE⊥AB時，四邊形OMBN的面積為1；
②如圖（2），當(dāng)正方形OEFG繞點O旋轉(zhuǎn)時，四邊形OMBN的面積會發(fā)生變化嗎？試證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 ①先利用正方形ABCD的性質(zhì)求出BD，BO的長度，再證明四邊形OMBN為正方形，即可解答；
②如圖（2），當(dāng)正方形OEFG繞點O旋轉(zhuǎn)時，四邊形OMBN的面積不會發(fā)生變化，證明△MOG≌△NOH（ASA），即可得到四邊形OMBN的面積等于正方形OGBH的面積，面積為1．

解答 解：（1）如圖1，連接BD，

∵正方形ABCD的邊長為2，
∴BD=$\sqrt{A{B}^{2}+A{D}^{2}}=\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}=2\sqrt{2}$，
∴OB=$\frac{1}{2}BD=\sqrt{2}$，
∵四邊形OEFG為正方形，OE⊥AB，
∴四邊形OMBN為矩形，
∵∠ABO=45°，
∴MB=MO，
∴四邊形OMBN為正方形，
∴MB²+MO²=BO²，
∴2BM²=2
BM²=1，
∴四邊形OMBN的面積為1，
故答案為：1；
②如圖（2），當(dāng)正方形OEFG繞點O旋轉(zhuǎn)時，四邊形OMBN的面積不會發(fā)生變化，

過點O作OG⊥AB于點G，過點O作OH⊥BC于點H，
∴∠MGO=∠OHN，
由（1）可知，四邊形OGBH為正方形，
∴OG=OH，
∵∠EOG=90°，∠GOH=90°，
∴∠MOG+∠GON=90°，∠GON+∠HON=90°，
∴∠MOG=∠NOH，
在△MOG與△NOH中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠MGO=∠NHO}\\{OG=OH}\\{∠MOG=∠NOH}\end{array}\right.$，
∴△MOG≌△NOH（ASA），
∴四邊形OMBN的面積等于正方形OGBH的面積，面積為1．

點評 本題主要考查對正方形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定等知識點的理解和掌握，解決本題的關(guān)鍵是證明四邊形OMBN是正方形．