Question

8．如圖梯形ABCD中，AD∥BC，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，連接BF并延長(zhǎng)與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，且∠ABE=∠ACE．
（1）寫出圖中三對(duì)相似三角形（不需要證明）．
（2）證明：$\frac{EF}{BE}$=$\frac{FG}{BG}$．
（3）若BG=2，EF=1，求FG的長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)相似三角形的判定方法可知：△AFG∽△CBG，△EFD∽△EBC，△AGB∽△EGC，
（2）由△EFD∽△EBC，得$\frac{EF}{EB}$=$\frac{DF}{CB}$，由△AFG∽△CBG，得$\frac{AF}{BC}$=$\frac{FG}{GB}$，因?yàn)锳F=DF，由此即可證明．
（3）利用（2）的結(jié)論，設(shè)FG=x，列出方程即可解決．

解答 （1）解：∵AF∥BC，
∴△AFG∽△CBG，
∵DF∥BC，
∴△EFD∽△EBC，
∵∠ABG=∠GCE，∠AGB=∠EGC，
∴△AGB∽△EGC，
∴△AFG∽△CBG，△EFD∽△EBC，△AGB∽△EGC，
（2）證明：由（1）可知：△EFD∽△EBC，
∴$\frac{EF}{EB}$=$\frac{DF}{CB}$，
∵△AFG∽△CBG，
∴$\frac{AF}{BC}$=$\frac{FG}{GB}$，
∵AF=DF，
∴$\frac{EF}{BE}$=$\frac{FG}{GB}$．
（3）解：設(shè)FG=x，∵$\frac{EF}{BE}$=$\frac{FG}{GB}$，EF=1，BG=2，
∴$\frac{1}{3+x}$=$\frac{x}{2}$，
∴x²+3x-2=0，
∴x=$\frac{\sqrt{17}-3}{2}$或$\frac{-\sqrt{17}-3}{2}$（舍棄），
∴FG=$\frac{\sqrt{17}-3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化的思想，把問題轉(zhuǎn)化為方程去思考，屬于中考�？碱}型．