Question

9．在正方形AOBC中，OB=OA=4，分別以O(shè)B，OA所在直線為x軸和y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，F(xiàn)是邊BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)F點(diǎn)的一次函數(shù)y=-x+k的圖象與AC邊交于點(diǎn)E．
（1）在點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，∠EOF的取值范圍是0°≤∠EOF≤90°；
（2）令五邊形AOBFE的面積為S，求出S與k的函數(shù)關(guān)系式，當(dāng)S取最大值時(shí)，求k的值；
（3）在（2）的條件下，P為線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，作∠CBx的角平分線BM交一次圖象于M，連接PM交BC于Q．則點(diǎn)M的坐標(biāo)為（6，2）
①若∠APM=90°，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；
②在①的條件下，若P點(diǎn)不與O、B重合，連接AQ，探究正方形AOBC內(nèi)有哪些三角形相似，直接寫(xiě)出結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）易知直線y=-x+k與x軸成45°角，從而有∠CEF=∠CFE=45°，則有CE=CF．先考慮點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C、點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的∠EOF的值，就可求出∠EOF的取值范圍；
（2）用k的代數(shù)式依次表示BF、CF、S_△CEF、S，然后根據(jù)S與k的函數(shù)關(guān)系式，就可求出S取最大值時(shí)k的值；
（3）如圖2①，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥BD于H．易證MB=MD，∠BMD=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得BH=HD=MH=$\frac{1}{2}$BD=2，求出OH，即可得到點(diǎn)M的坐標(biāo)．①如圖2①，易證△AOP∽△PHM，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求出OP，即可得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；②如圖2②，易證△AOP∽△PBQ，則有$\frac{AO}{PB}$=$\frac{AP}{PQ}$．由PB=OP=2可得$\frac{AO}{OP}$=$\frac{AP}{PQ}$．再由∠AOP=∠APQ=90°可得△AOP∽△APQ．

解答 解：（1）如圖1，易知直線y=-x+k與x軸成45°角，
從而有∠CEF=∠CFE=45°，則有CE=CF．
當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)，∠EOF=0°；
當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，∠EOF=90°．
故答案為0°≤∠EOF≤90°；

（2）如圖1，
當(dāng)x=4時(shí)，y=-4+k，則點(diǎn)F（4，-4+k），
∴BF=-4+k，CF=4-（-4+k）=8-k，
∴S_△ECF=$\frac{1}{2}$CE•CF=$\frac{1}{2}$CF²=$\frac{1}{2}$（8-k）²，
∴S=16-$\frac{1}{2}$（8-k）²，
∴當(dāng)k=8時(shí)，S取到最大值；

（3）如圖2①，過(guò)點(diǎn)M作MH⊥BD于H．
∵BM平分∠CBD，∴∠MBD=$\frac{1}{2}$∠CBD=45°，
∴∠MBD=∠MDB=∠BCD=45°，
∴BD=BC=4，MB=MD，∠BMD=90°，
∵M(jìn)H⊥BD，∴BH=HD=MH=$\frac{1}{2}$BD=2，
∴OH=4+2=6，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（6，2）．
故答案為（6，2）；
①如圖2①，
∵∠APM=90°，∠AOP=90°，
∴∠APO+∠HPM=180°-90°=90°，∠APO+∠OAP=90°，
∴∠OAP=∠HPM．
又∵∠AOP=∠PHM=90°，
∴△AOP∽△PHM，
∴$\frac{AO}{PH}$=$\frac{OP}{HM}$，
∴$\frac{4}{6-OP}$=$\frac{OP}{2}$，
解得OP=2或OP=4，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2，0）或（4，0）；
②如圖2②，在正方形AOBC內(nèi)，△AOP∽△PBQ∽△APQ．
理由：∵P點(diǎn)不與O、B重合，∴OP=2，PB=4-2=2．
由①得∠OAP=∠BPQ．
又∵∠AOP=∠PBQ=90°，
∴△AOP∽△PBQ，
∴$\frac{AO}{PB}$=$\frac{AP}{PQ}$．
∵PB=OP=2，
∴$\frac{AO}{OP}$=$\frac{AP}{PQ}$．
∵∠AOP=∠APQ=90°，
∴△AOP∽△APQ，
∴△AOP∽△PBQ∽△APQ．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、二次函數(shù)的最值性等知識(shí)，并考查了K型相似（若∠AOP=∠APQ=∠PBQ，則△AOP∽△PBQ）及其推論（若△AOP∽△PBQ，OP=BP，則△AOP∽△PBQ∽△APQ），應(yīng)熟練掌握．