Question

10．如圖，⊙O是△ABC 的外接圓，AB=AC，BD是⊙O的直徑，PA∥BC，與DB的延長線交于點P，連接AD．
（1）求證：PA是⊙O的切線；
（2）若AB=$\sqrt{5}$，BC=4，求AD的長．

Answer 1

分析 （1）連接OA交BC于點E，根據(jù)垂徑定理的推論求得OA⊥BC，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)證得∠PAO=90°，即可證得結論．
（2）根據(jù)勾股定理求得AE，得出tanC=$\frac{AE}{CE}=\frac{1}{2}$，根據(jù)∠D=∠C，得出tanD=$\frac{AB}{AD}$=$\frac{1}{2}$，從而求得AD的長．

解答 （1）證明：連接OA交BC于點E，
由AB=AC可得OA⊥BC，
∵PA∥BC，
∴∠PAO=∠BEO=90°．
∵OA為⊙O的半徑，
∴PA為⊙O的切線．
（2）解：根據(jù)（1）可得CE=$\frac{1}{2}$BC=2．
Rt△ACE中，$AE=\sqrt{A{C^2}-C{E^2}}=1$，
∴tanC=$\frac{AE}{CE}=\frac{1}{2}$．
∵BD是直徑，
∴∠BAD=90°，
又∵∠D=∠C，
∴tanD=$\frac{AB}{AD}$=$\frac{1}{2}$，
∴AD=$\frac{AB}{tanD}=2\sqrt{5}$．

點評 本題考查了切線的判定，勾股定理的應用，正切函數(shù)的應用等；經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．在判定一條直線為圓的切線時，當已知條件中明確指出直線與圓有公共點時，常連接過該公共點的半徑，證明該半徑垂直于這條直線．