Question

19．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠B=60°，CD是⊙O的直徑，點(diǎn)P是CD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且AP=AC．
（1）求∠P的度數(shù)；
（2）求證：PA是⊙O的切線；
（3）若PD=$\sqrt{3}$，求⊙O的直徑．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)AD，如圖，根據(jù)圓周角定理得∠DAC=90°，∠ADC=∠B=60°，則利用三角形內(nèi)角和定理得∠ACD=30°，由于AP=AC，于是利用等腰三角形的性質(zhì)易得∠P=30°；
（2）連結(jié)OA，如圖，先判斷△OAD為等邊三角形，則∠DOA=60°，而∠P=30°，則可計(jì)算出∠OAP=90°，然后根據(jù)切線的判定定理得到PA是⊙O的切線；
（3）在Rt△APO中，根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到OA=$\frac{1}{2}$OP，即OD+PD=2OA，而OD=OA，于是有OA=PD=$\sqrt{3}$，從而得到圓的直徑．

解答 （1）解：連結(jié)AD，如圖，
∵CD是⊙O的直徑，
∴∠DAC=90°，
∵∠ADC=∠B=60°，
∴∠ACD=30°，
∵AP=AC，
∴∠P=∠ACP=30°；
（2）證明：連結(jié)OA，如圖，
∵OD=OA，∠ADO=60°，
∴△OAD為等邊三角形，
∴∠DOA=60°，
而∠P=30°，
∴∠OAP=90°，
∴OA⊥AP，
∴PA是⊙O的切線；
（3）解：在Rt△APO中，∵∠P=30°，
∴OA=$\frac{1}{2}$OP，即OD+PD=2OA，
而OD=OA，
∴OA=PD=$\sqrt{3}$，
∴⊙O的直徑為2$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了切線的判定：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．也考查了等腰三角形的性質(zhì)和圓周角定理．