Question

14．如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線y=kx（k＞0）分別交反比例函數(shù)y=$\frac{1}{x}$和y=$\frac{9}{x}$在第一象限的圖象于點A，B，過點B作 BD⊥x軸于點D，交y=$\frac{1}{x}$的圖象于點C，連結(jié)AC．若△ABC是等腰三角形，則k的值是$\frac{3\sqrt{7}}{7}$或$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

Answer 1

分析 根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式，即可求得點A、B、C的坐標（用k表示），再討論①AB=BC，②AC=BC，即可解題．

解答 解：∵點B是y=kx和y=$\frac{9}{x}$的交點，y=kx=$\frac{9}{x}$，
解得：x=$\frac{3}{\sqrt{k}}$，y=3$\sqrt{k}$，
∴點B坐標為（$\frac{3}{\sqrt{k}}$，3$\sqrt{k}$），
點A是y=kx和y=$\frac{1}{x}$的交點，y=kx=$\frac{1}{x}$，
解得：x=$\frac{1}{\sqrt{k}}$，y=$\sqrt{k}$，
∴點A坐標為（$\frac{1}{\sqrt{k}}$，$\sqrt{k}$），
∵BD⊥x軸，
∴點C橫坐標為$\frac{3}{\sqrt{k}}$，縱坐標為$\frac{1}{\frac{3}{\sqrt{k}}}$=$\frac{\sqrt{k}}{3}$，
∴點C坐標為（$\frac{3}{\sqrt{k}}$，$\frac{\sqrt{k}}{3}$），
∴BA≠AC，
若△ABC是等腰三角形，
①AB=BC，則$\sqrt{{（\frac{3}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k}}）}^{2}{+（3\sqrt{k}-\sqrt{k}）}^{2}}$=3$\sqrt{k}$-$\frac{\sqrt{k}}{3}$，
解得：k=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$；
②AC=BC，則$\sqrt{{（\frac{3}{\sqrt{k}}-\frac{1}{\sqrt{k}}）}^{2}{+（\sqrt{k}-\frac{\sqrt{k}}{3}）}^{2}}$=3$\sqrt{k}$-$\frac{\sqrt{k}}{3}$，
解得：k=$\frac{\sqrt{15}}{5}$；
故答案為 k=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$或$\frac{\sqrt{15}}{5}$．

點評 本題考查了點的坐標的計算，考查了一次函數(shù)和反比例函數(shù)交點的計算，本題中用k表示點A、B、C坐標是解題的關鍵．