Question

18．如圖，以BC為直徑的圓交△ABC的兩邊AB、AC于點D、E，點E恰為AC的中點，BF為△ABC的外角平分線，點F在圓上，請你僅用一把無刻度的直尺，過點A作一條線段，將△ABC分成面積相等的兩部分．

Answer 1

分析 利用等腰三角形的三線合一，判斷出BE是∠ABC的平分線，進而判斷出∠EBF=90°，再判斷出四邊形EBFC是矩形，點O為矩形對角線的交點即可．

解答 解：如圖，連接BE，EF交直徑BC于點O，即點O為圓的圓心，連接AO，即為所求作的線段．

理由：∵BC為圓的直徑，
∴BE⊥AC，
∵點E是AC中點，
∴∠ABE=∠CBE=$\frac{1}{2}$∠ABC，
∵BF為△ABC的外角的平分線，
∴∠CBF=$\frac{1}{2}$∠CBG，
∴∠EBF=∠EBC+∠CBF=$\frac{1}{2}$（∠ABC+∠CBG）=90°，
∵BC為直徑，
∴∠BFC=90°，
∴∠BEC=∠EBF=∠BFC=90°，
∴四邊形EBFC是矩形，
∴點O是BC中點，即：為圓心；
∴AO是△ABC的邊BC中線，
即：AO將△ABC分成面積相等的兩部分，

點評 此題是作圖---復(fù)雜作圖，主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，矩形的判定，判斷出∠EBF=90°是解本題的關(guān)鍵．