Question

18．閱讀材料：
材料1：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0的兩根，則x₁，x₂與系數(shù)a，b，c有如下關(guān)系：
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{a}}\\{{x}_{1}•{x}_{2}=\frac{c}{a}}\end{array}\right.$，我們稱之為韋達(dá)定理．
材料2：設(shè)a²+1=3a，b²+1=3b．且a≠b，則代數(shù)式$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$的值為3
解：對(duì)于a²+1=3a，b²+1=3b兩個(gè)方程．我們可以把a(bǔ)，b看作是一元二次方程x²-3x+1=0兩個(gè)根，由韋達(dá)定理可得：a+b=3，ab=1
所以：$\frac{1}{a}$+$\frac{1}$=$\frac{b+a}{ab}$=$\frac{3}{1}$=3
回答下列問(wèn)題：
（1）設(shè)a²-2a-1=0，b²-2b-1=0，且a≠b，則a+b=2
（2）設(shè)m²-2m+a=0，n⁴-2n²+a=0，且$\frac{1}{{n}^{2}}$+$\frac{1}{m}$=-2．則a=-1
（3）已知a，b是正整數(shù)，且ab+a+b=9，a²b+ab²=20，求a²+b²的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用韋達(dá)定理，把a(bǔ)，b看作是一元二次方程x²-2x-1=0兩個(gè)根求出答案；
（2）接利用韋達(dá)定理，把m，n²看作是一元二次方程x²-2x+a=0兩個(gè)根求出答案；
（3）利用已知得出ab，a+b，看作是一元二次方程x²-9x+20=0兩個(gè)根，進(jìn)而得出答案．

解答 解：（1）對(duì)于a²-2a-1=0，b²-2b-1=0兩個(gè)方程．
我們可以把a(bǔ)，b看作是一元二次方程x²-2x-1=0兩個(gè)根，
由韋達(dá)定理可得：a+b=2；
故答案為：2；

（2）對(duì)于m²-2m+a=0，n⁴-2n²+a=0，兩個(gè)方程．
我們可以把m，n²看作是一元二次方程x²-2x+a=0兩個(gè)根，
由韋達(dá)定理可得：$\frac{1}{{n}^{2}}$+$\frac{1}{m}$=$\frac{{n}^{2}+m}{{n}^{2}m}$=$\frac{2}{a}$=-2，
解得：a=-1；
故答案為：-1；

（3）∵ab+a+b=9，a²b+ab²=ab（a+b）=20，
∴設(shè)ab，a+b，看作是一元二次方程x²-9x+20=0兩個(gè)根，由a，b是正整數(shù)，
解得：a+b=5，ab=4，
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=25-8=17．

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，正確應(yīng)用韋達(dá)定理是解題關(guān)鍵．