Question

15．某家電銷售商城電冰箱的銷售價為每臺2100元，空調(diào)的銷售價為每臺1750元，每臺電冰箱的進(jìn)價比每臺空調(diào)的進(jìn)價多400元，商城用80000元購進(jìn)電冰箱的數(shù)量與用64000元購進(jìn)空調(diào)的數(shù)量相等．
（1）求每臺電冰箱與空調(diào)的進(jìn)價分別是多少？
（2）現(xiàn)在商城準(zhǔn)備一次購進(jìn)這兩種家電共100臺，設(shè)購進(jìn)電冰箱x臺，這100臺家電的銷售總利潤為y元，要求購進(jìn)空調(diào)數(shù)量不超過電冰箱數(shù)量的2倍，總利潤不低于13000元，請分析合理的方案共有多少種？并確定獲利最大的方案以及最大利潤；
（3）實際進(jìn)貨時，廠家對電冰箱出廠價下調(diào)k（0＜k＜100）元，若商店保持這兩種家電的售價不變，請你根據(jù)以上信息及（2）問中條件，設(shè)計出使這100臺家電銷售總利潤最大的進(jìn)貨方案．

Answer 1

分析 （1）設(shè)每臺空調(diào)的進(jìn)價為x元，則每臺電冰箱的進(jìn)價為（x+400）元，根據(jù)“商城用80000元購進(jìn)電冰箱的數(shù)量與用64000元購進(jìn)空調(diào)的數(shù)量相等”，列出方程，即可解答；
（2）設(shè)購進(jìn)電冰箱x臺，這100臺家電的銷售總利潤為y元，則y=（2100-2000）x+（1750-1600）（100-x）=-50x+15000，根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{100-x≤2x}\\{-50x+15000≤13000}\end{array}\right.$，得到$33\frac{1}{3}≤x≤40$，根據(jù)x為正整數(shù)，所以x=34，35，36，37，38，39，40，即合理的方案共有7種，利用一次函數(shù)的性質(zhì)，確定獲利最大的方案以及最大利潤；
（3）當(dāng)電冰箱出廠價下調(diào)k（0＜k＜100）元時，則利潤y=（k-50）x+15000，分兩種情況討論：當(dāng)k-50＞0；當(dāng)k-50＜0；利用一次函數(shù)的性質(zhì)，即可解答．

解答 解：（1）設(shè)每臺空調(diào)的進(jìn)價為x元，則每臺電冰箱的進(jìn)價為（x+400）元，
根據(jù)題意得：$\frac{80000}{x+400}=\frac{64000}{x}$，
解得：x=1600，
經(jīng)檢驗，x=1600是原方程的解，
x+400=1600+400=2000，
答：每臺空調(diào)的進(jìn)價為1600元，則每臺電冰箱的進(jìn)價為2000元．

（2）設(shè)購進(jìn)電冰箱x臺，這100臺家電的銷售總利潤為y元，
則y=（2100-2000）x+（1750-1600）（100-x）=-50x+15000，
根據(jù)題意得：$\left\{\begin{array}{l}{100-x≤2x}\\{-50x+15000≤13000}\end{array}\right.$，
解得：$33\frac{1}{3}≤x≤40$，
∵x為正整數(shù)，
∴x=34，35，36，37，38，39，40，
∴合理的方案共有7種，
即①電冰箱34臺，空調(diào)66臺；②電冰箱35臺，空調(diào)65臺；③電冰箱36臺，空調(diào)64臺；④電冰箱37臺，空調(diào)63臺；⑤電冰箱38臺，空調(diào)62臺；⑥電冰箱39臺，空調(diào)61臺；⑦電冰箱40臺，空調(diào)60臺；
∵y=-50x+15000，k=-50＜0，
∴y隨x的增大而減小，
∴當(dāng)x=34時，y有最大值，最大值為：-50×34+15000=13300（元），
答：當(dāng)購進(jìn)電冰箱34臺，空調(diào)66臺獲利最大，最大利潤為13300元．

（3）當(dāng)廠家對電冰箱出廠價下調(diào)k（0＜k＜100）元，若商店保持這兩種家電的售價不變，
則利潤y=（2100-2000+k）x+（1750-1600）（100-x）=（k-50）x+15000，
當(dāng)k-50＞0，即50＜k＜100時，y隨x的增大而增大，
∵$33\frac{1}{3}≤x≤40$，
∴當(dāng)x=40時，這100臺家電銷售總利潤最大，即購進(jìn)電冰箱40臺，空調(diào)60臺；
當(dāng)k-50＜0，即0＜k＜50時，y隨x的增大而減小，
∵$33\frac{1}{3}≤x≤40$，
∴當(dāng)x=34時，這100臺家電銷售總利潤最大，即購進(jìn)電冰箱34臺，空調(diào)66臺；
答：當(dāng)50＜k＜100時，購進(jìn)電冰箱40臺，空調(diào)60臺銷售總利潤最大；
當(dāng)0＜k＜50時，購進(jìn)電冰箱34臺，空調(diào)66臺銷售總利潤最大．

點評 本題考查了列分式方程解實際問題的運(yùn)用，一次函數(shù)的解析式的性質(zhì)的運(yùn)用，解答時根據(jù)總利潤═冰箱的利潤+空調(diào)的利潤建立解析式是關(guān)鍵．