Question

11．某公司經營楊梅業(yè)務，以3萬元/噸的價格買入楊梅后，分揀成A、B兩類，A類楊梅包裝后直接銷售，包裝成本為1萬元/噸，它的平均銷售價格y（單位：萬元/噸）與銷售數(shù)量x（x≥2，單位：噸）之間的函數(shù)關系如圖所示；B類楊梅深加工后再銷售，深加工總費用s（單位：萬元）與加工數(shù)量t（單位：噸）之間的函數(shù)關系是s=12+3t，平均銷售價格為9萬元/噸．
（1）A類楊梅的銷售量為5噸時，它的平均銷售價格是每噸多少萬元？
（2）若該公司收購10噸楊梅，其中A類楊梅有4噸，則經營這批楊梅所獲得的毛利潤（w）為多少萬元？（毛利潤=銷售總收入-經營總成本）
（3）若該公司收購20噸楊梅，其中A類楊梅有x噸，經營這批楊梅所獲得的毛利潤為w萬元．
①求w關于x的函數(shù)關系式；
②若該公司獲得了30萬元毛利潤，問：用于直銷的A類楊梅有多少噸？

Answer 1

分析 （1）用待定系數(shù)法求得y與x的函數(shù)解析式，把x=5代入即可；
（2）根據(jù)“毛利潤=銷售總收入-經營總成本”計算即可求得結論；
（3）①當2≤x＜8時及當x≥8時，分別求出w關于x的表達式．注意w=銷售總收入-經營總成本=w_A+w_B-3×20；
②若該公司獲得了30萬元毛利潤，將30萬元代入①中求得的表達式，求出A類楊梅的數(shù)量．

解答 解：（1）設x，y的解析式為y=kx+b，
把x=2時，y=12，x=8時，y=6得：$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=12}\\{8k+b=6}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=14}\end{array}\right.$，
∴y=-x+14（2≤x≤8），
∴x=5時，y=9，
答：A類楊梅的銷售量為5噸時，它的平均銷售價格是每噸9萬元；

（2）若該公司收購10噸楊梅，其中A類楊梅有4噸，則B類楊梅有6噸，
易得：W_A=（10-3-1）×4=24（萬元），
W_A=6×（9-3）-（12+3×6）=6（萬元），
∴W=24+6=30（萬元），
答：此時經營這批楊梅所獲得的毛利潤w為30萬元；

（3）設銷售A類楊梅x噸，則銷售B類楊梅（20-x）噸，
①當2≤x＜8時，
w_A=x（-x+14）-x=-x²+13x，
w_B=9（20-x）-[12+3（20-x）]=108-6x，
∴w=w_A+w_B-3×20
=（-x²+13x）+（108-6x）-60
=-x²+7x+48；
當x≥8時，
w_A=6x-x=5x，
w_B=9（20-x）-[12+3（20-x）]=108-6x
∴w=w_A+w_B-3×20
=（5x）+（108-6x）-60
=-x+48，
∴w關于x的函數(shù)關系式為：
w=$\left\{\begin{array}{l}{{-x}^{2}+7x+48（2≤x＜8）}\\{-x+48（x≥8）}\end{array}\right.$，
②當2≤x＜8時，-x²+7x+48=30，解得x₁=9，x₂=-2，均不合題意，
當x≥8時，-x+48=30，解得x=18，
∴當毛利潤達到30萬元時，直接銷售的A類楊梅有18噸．

點評 本題是二次函數(shù)、一次函數(shù)的綜合應用題，難度較大．解題關鍵是理清售價、成本、利潤三者之間的關系．涉及到分段函數(shù)時，注意要分類討論．